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O número de Euler como um limite

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Resolvido O número de Euler como um limite

Mensagem por Henrique de Cristo Sex 10 Set 2021, 19:09

Meu livro-texto propõe uma justificativa para a definição
[latex]e = \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/latex].
A justificativa começa assim:
Já mostramos que se [latex]f(x)= \ln x[/latex], então [latex]f'(x)= 1/x[/latex]. Assim, [latex]f'(1)= 1[/latex]. Agora, usamos esse fato para expressar o número [latex]e[/latex] como um limite.
Da definição de derivada como um limite, temos
[latex]f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{x \to 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x} [/latex]

(STEWART, James. Cálculo: volume 1, pp. 193.)
Eu havia pensado o seguinte:

  • se [latex]h = x - a[/latex] e [latex]a = 1[/latex] (já que se trata de [latex]f'(1)[/latex]), então, quando [latex]h \to 0[/latex], [latex]x \to 1[/latex].
  • se [latex]h = x - a[/latex] e [latex]\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{x \to 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x}[/latex], então [latex]h = x \implies a = 0[/latex], ou seja, estaríamos avaliando a derivada de [latex]f(x)[/latex] em [latex]x=0[/latex], que, além de ser diferente de [latex]f'(1)[/latex], nem está definida.

Então, por que é possível substituir a variável [latex]h[/latex] pela variável [latex]x[/latex] nesse caso?

Edit: Os dois argumentos estão errados. O primeiro se aplicaria em uma substituição de variáveis "convencional", mas isso não ajudaria a justificativa da definição do número de Euler como um limite. O segundo está errado, porque [latex]f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(0+x)-f(0)}{x} \neq \lim_{x \to 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x}[/latex]. Enfim, é possível substituir [latex]h[/latex] por [latex]x[/latex] pois, independentemente da variável, seu valor se aproxima de 0 da mesma forma, de modo que o valor do limite é exatamente o mesmo.
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