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Equação do 2 grau

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Equação do 2 grau  Empty Equação do 2 grau

Mensagem por PAPABLO Qua 08 Set 2021, 21:20

Para quantos valores inteiros de a, todas as raízes da equação 3ax² + (3a³ - 12a² -1)x -a(a-4) = 0 satisfazem a condição |x| <1 ? 

a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) infinitas

PAPABLO
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Equação do 2 grau  Empty Re: Equação do 2 grau

Mensagem por Elcioschin Qua 08 Set 2021, 23:19

Parece-me trabalhoso

|x|< 1 ---> - 1 < x < 1 ---> I

Calcule ∆ ---> Calcule as duas raízes 

Em I faça x > -1 e monte uma equação ---> idem para x < 1 

Resolva o sistema de duas equações
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Equação do 2 grau  Empty Re: Equação do 2 grau

Mensagem por SilverBladeII Qua 08 Set 2021, 23:24

se a=0, a equação se resume a -x=0, e |0|<1, e temos ao menos uma sol.

se a é diferente de 0, a equação pode ser reorganizada:

[latex]3ax^2+(3a^2(a-4)-1)x-a(a-4)=0[/latex]
e portanto, suas raizes são

[latex]\begin{align*}
x_i&=\frac{-3a^2(a-4)+1\pm\sqrt{(3a^2(a-4)-1)^2+12a^2(a-4)}}{6a}\\
&=\frac{-3a^2(a-4)+1\pm\sqrt{(3a^2(a-4))^2-6a^2(a-4)+1+12a^2(a-4)}}{6a}\\
&=\frac{-3a^2(a-4)+1\pm\sqrt{(3a^2(a-4))^2+6a^2(a-4)+1}}{6a}\\
&=\frac{-3a^2(a-4)+1\pm\sqrt{(3a^2(a-4)+1)^2}}{6a}\\
&=\frac{-3a^2(a-4)+1\pm(3a^2(a-4)+1)}{6a}\\
\end{align*}[/latex]

e as duas raízes serão
[latex]\begin{cases}\frac{1}{3a}\\-a(a-4)\end{cases}[/latex]

a primeira raiz está claramente entre -1 e 1 para qualquer a inteiro não nulo.
A segunda raiz é inteira e queremos -1 < -a(a-4) < 1, resta que -a(a-4)=0, e portanto a=4.

assim, dois valores é a resposta.
[latex][/latex]
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Equação do 2 grau  Empty Re: Equação do 2 grau

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