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Somatórios Trigonométricos

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Mensagem por FocoNoITA Sab 04 Set 2021, 19:41

Temos as seguintes somas.

Somatórios Trigonométricos Gif.latex?S_1%3Dcos%28x%29+cos%282x%29+cos%283x%29+..

Somatórios Trigonométricos Gif.latex?S_2%3Dsen%28x%29+sen%282x%29+sen%283x%29+..

Solucioná-las-ei de duas maneiras.

1⁰ Modo(Números Complexos):

Seja z=cis(θ).

Com isso:

Somatórios Trigonométricos Gif.latex?z%5E1+z%5E2+z%5E3+z%5E4+z%5E5...+z%5En%3Dcis%28%5Ctheta%29%20+cis%282%5Ctheta%29%20+cis%283%5Ctheta%29%20+..

Observe que, do lado esquerdo, obtemos a soma de uma P.G.

Desse modo:

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Somatórios Trigonométricos Gif.latex?L_E%3D%5Cfrac%7Bcis%28%5Ctheta%20%29

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Somatórios Trigonométricos Gif.latex?L_E%3Dcos%28%5Cfrac%7Bn%5Ctheta%20%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7B%5Ctheta%20%7D%7B2%7D%29


Desse modo, podemos igualar as partes reais e imaginárias:

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Também:

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2⁰Modo(Trigonometria):

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Expandindo S₁:

Somatórios Trigonométricos Gif.latex?S_1%3Dcos%28x%29+cos%282x%29+cos%283x%29+..

Somatórios Trigonométricos Gif.latex?2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29.S_1%3D2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29%28cos%28%5Ctheta%20%29+cos%282%5Ctheta%29+cos%283%5Ctheta%29+..

Somatórios Trigonométricos Gif.latex?2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29.S_1%3D2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29cos%28%5Ctheta%20%29+2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29cos%282%5Ctheta%29+...+2
Utilizando as fórmulas de transformação de produto em soma, obtemos:

Somatórios Trigonométricos Gif.latex?2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29.S_1%3Dsen%28%5Cfrac%7B3%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29+sen%28%5Cfrac%7B-%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29+sen%28%5Cfrac%7B5%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29+sen%28%5Cfrac%7B-3%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29+..

Somatórios Trigonométricos Gif.latex?2sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29

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A resolução de S₂ é análoga à de S₁.


Observe que os resultados, dos dois modos, são as mesmas coisas, só estão escritos de formas diferentes.
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Mensagem por eduardodudu101 Sab 04 Set 2021, 22:32

Muito bom! Eu conhecia apenas a demonstração por complexos.
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