Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.)

por FocoNoITA Sab 04 Set 2021, 20:41

Temos as seguintes somas.

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif.latex?S_1%3Dcos%28x%29+cos%282x%29+cos%283x%29+..$

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif.latex?S_2%3Dsen%28x%29+sen%282x%29+sen%283x%29+..$

Solucioná-las-ei de duas maneiras.

1⁰ Modo(Números Complexos):

Seja z=cis(θ).

Com isso:

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif.latex?z%5E1+z%5E2+z%5E3+z%5E4+z%5E5...+z%5En%3Dcis%28%5Ctheta%29%20+cis%282%5Ctheta%29%20+cis%283%5Ctheta%29%20+..$

Observe que, do lado esquerdo, obtemos a soma de uma P.G.

Desse modo:

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif$

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif.latex?L_E%3D%5Cfrac%7Bcis%28%5Ctheta%20%29$

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif$

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif.latex?L_E%3Dcos%28%5Cfrac%7Bn%5Ctheta%20%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7B%5Ctheta%20%7D%7B2%7D%29$

Desse modo, podemos igualar as partes reais e imaginárias:

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif$

Também:

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif$

2⁰Modo(Trigonometria):

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif$

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif$
Expandindo S₁:

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif.latex?S_1%3Dcos%28x%29+cos%282x%29+cos%283x%29+..$

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif.latex?2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29.S_1%3D2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29%28cos%28%5Ctheta%20%29+cos%282%5Ctheta%29+cos%283%5Ctheta%29+..$

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif.latex?2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29.S_1%3D2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29cos%28%5Ctheta%20%29+2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29cos%282%5Ctheta%29+...+2$
Utilizando as fórmulas de transformação de produto em soma, obtemos:

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif.latex?2.sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29.S_1%3Dsen%28%5Cfrac%7B3%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29+sen%28%5Cfrac%7B-%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29+sen%28%5Cfrac%7B5%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29+sen%28%5Cfrac%7B-3%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29+..$

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif.latex?2sen%28%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%20%29$

$Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.) Gif$

A resolução de S₂ é análoga à de S₁.

Observe que os resultados, dos dois modos, são as mesmas coisas, só estão escritos de formas diferentes.

por eduardodudu101 Sab 04 Set 2021, 23:32

Muito bom! Eu conhecia apenas a demonstração por complexos.

por **Giovana Martins** Dom 13 Fev 2022, 11:00

Uma possível demonstração para soma de cossenos e senos cujos arcos estão em progressão aritmética.

[latex]\mathrm{Sejam\ as\ somas:\left\{\begin{matrix} \mathrm{1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)}\\ \mathrm{sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)} \end{matrix}\right.}[/latex]

[latex]\mathrm{Sejam:\left\{\begin{matrix}
\mathrm{iS=isin(x)+isin(2x)+isin(3x)+...+isin(nx)}\\
\mathrm{C=1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)}
\end{matrix}\right.}[/latex]

[latex]\mathrm{C+iS=1+cos(x)+isin(x)+cos(2x)+isin(2x)+...+cos(nx)+isin(nx)}[/latex]

[latex]\mathrm{C+iS=1+e^{ix}+e^{2ix}+...+e^{nix}}[/latex]

[latex]\mathrm{Sendo\ e^{ix}=a\ e\ considerando:1+a+a^2+a^3+...a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}}[/latex]

[latex]\mathrm{Logo:C+iS=1+e^{ix}+(e^{ix})^2+(e^{ix})^3+...+(e^{ix})^n=1+a+a^2+a^3+...+a^n=\frac{{(e^{ix})^{n+1}}-1}{e^{ix}-1}}[/latex]

[latex]\mathrm{C+iS=\frac{{(e^{ix})^{n+1}}-1}{e^{ix}-1}=\frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}}\left [ \frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}-e^{-\frac{ix(n+1)}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}}} \right ]}[/latex]

[latex]\mathrm{Por\ def.:sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]=\frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}-e^{-\frac{ix(n+1)}{2}}}{2i}}[/latex]

[latex]\mathrm{Logo:C+iS=\frac{2isin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{2isin\left ( \frac{x}{2} \right )}e^{i\left [ \frac{x(n+1)}{2}-\frac{x}{2} \right ]}=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}e^{i\left ( \frac{xn}{2} \right )}=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}cis\left ( \frac{xn}{2} \right )}[/latex]

[latex]\mathrm{Comparando:C=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]cos\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}\ e\ S=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]sin\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]

[latex]\mathrm{\therefore 1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]cos\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]

[latex]\mathrm{\therefore sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]sin\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]

Fonte: Trigonometria Plana y Esferica e Introducción al Cálculo.

Nota¹: se notarem algum erro, avisem. Escrever essas expressões em LaTeX é bem desagradável Embarassed

.

Nota²: postei esta demonstração, pois é relativamente comum postarem questões deste estilo no nosso fórum.

por FocoNoITA Dom 13 Fev 2022, 15:38

Giovana Martins escreveu:
Uma possível demonstração para soma de cossenos e senos cujos arcos estão em progressão aritmética.

[latex]\mathrm{Sejam\ as\ somas:\left\{\begin{matrix} \mathrm{1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)}\\ \mathrm{sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)} \end{matrix}\right.}[/latex]

[latex]\mathrm{Sejam:\left\{\begin{matrix}
\mathrm{iS=isin(x)+isin(2x)+isin(3x)+...+isin(nx)}\\
\mathrm{C=1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)}
\end{matrix}\right.}[/latex]

[latex]\mathrm{C+iS=1+cos(x)+isin(x)+cos(2x)+isin(2x)+...+cos(nx)+isin(nx)}[/latex]

[latex]\mathrm{C+iS=1+e^{ix}+e^{2ix}+...+e^{nix}}[/latex]

[latex]\mathrm{Sendo\ e^{ix}=a\ e\ considerando:1+a+a^2+a^3+...a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}}[/latex]

[latex]\mathrm{Logo:C+iS=1+e^{ix}+(e^{ix})^2+(e^{ix})^3+...+(e^{ix})^n=1+a+a^2+a^3+...+a^n=\frac{{(e^{ix})^{n+1}}-1}{e^{ix}-1}}[/latex]

[latex]\mathrm{C+iS=\frac{{(e^{ix})^{n+1}}-1}{e^{ix}-1}=\frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}}\left [ \frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}-e^{-\frac{ix(n+1)}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}}} \right ]}[/latex]

[latex]\mathrm{Por\ def.:sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]=\frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}-e^{-\frac{ix(n+1)}{2}}}{2i}}[/latex]

[latex]\mathrm{Logo:C+iS=\frac{2isin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{2isin\left ( \frac{x}{2} \right )}e^{i\left [ \frac{x(n+1)}{2}-\frac{x}{2} \right ]}=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}e^{i\left ( \frac{xn}{2} \right )}=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}cis\left ( \frac{xn}{2} \right )}[/latex]

[latex]\mathrm{Comparando:C=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]cos\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}\ e\ S=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]sin\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]

[latex]\mathrm{\therefore 1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]cos\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]

[latex]\mathrm{\therefore sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]sin\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]

Fonte: Trigonometria Plana y Esferica e Introducción al Cálculo.

Nota¹: se notarem algum erro, avisem. Escrever essas expressões em LaTeX é bem desagradável .

Nota²: postei esta demonstração, pois é relativamente comum postarem questões deste estilo no nosso fórum.