Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.)
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Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.)
Temos as seguintes somas.


Solucioná-las-ei de duas maneiras.
1⁰ Modo(Números Complexos):
Seja z=cis(θ).
Com isso:

Observe que, do lado esquerdo, obtemos a soma de uma P.G.
Desse modo:




Desse modo, podemos igualar as partes reais e imaginárias:

Também:

2⁰Modo(Trigonometria):


Expandindo S₁:



Utilizando as fórmulas de transformação de produto em soma, obtemos:



A resolução de S₂ é análoga à de S₁.
Observe que os resultados, dos dois modos, são as mesmas coisas, só estão escritos de formas diferentes.
Solucioná-las-ei de duas maneiras.
1⁰ Modo(Números Complexos):
Seja z=cis(θ).
Com isso:
Observe que, do lado esquerdo, obtemos a soma de uma P.G.
Desse modo:
Desse modo, podemos igualar as partes reais e imaginárias:
Também:
2⁰Modo(Trigonometria):
Expandindo S₁:
Utilizando as fórmulas de transformação de produto em soma, obtemos:
A resolução de S₂ é análoga à de S₁.
Observe que os resultados, dos dois modos, são as mesmas coisas, só estão escritos de formas diferentes.
FocoNoITA- Jedi
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Idade : 20
Localização : Santa Helena, Paraná, Brasil
Giovana Martins, eduardodudu101, Rory Gilmore, BatataLaranja345, matheusbon e Marcim gostam desta mensagem
Re: Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.)
Muito bom! Eu conhecia apenas a demonstração por complexos.
eduardodudu101- Jedi
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Data de inscrição : 15/07/2017
Idade : 21
Localização : Porto Velho,Rondônia,Brasil
FocoNoITA gosta desta mensagem
Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.)
Uma possível demonstração para soma de cossenos e senos cujos arcos estão em progressão aritmética.
[latex]\mathrm{Sejam\ as\ somas:\left\{\begin{matrix} \mathrm{1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)}\\ \mathrm{sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)} \end{matrix}\right.}[/latex]
[latex]\mathrm{Sejam:\left\{\begin{matrix}
\mathrm{iS=isin(x)+isin(2x)+isin(3x)+...+isin(nx)}\\
\mathrm{C=1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)}
\end{matrix}\right.}[/latex]
[latex]\mathrm{C+iS=1+cos(x)+isin(x)+cos(2x)+isin(2x)+...+cos(nx)+isin(nx)}[/latex]
[latex]\mathrm{C+iS=1+e^{ix}+e^{2ix}+...+e^{nix}}[/latex]
[latex]\mathrm{Sendo\ e^{ix}=a\ e\ considerando:1+a+a^2+a^3+...a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}}[/latex]
[latex]\mathrm{Logo:C+iS=1+e^{ix}+(e^{ix})^2+(e^{ix})^3+...+(e^{ix})^n=1+a+a^2+a^3+...+a^n=\frac{{(e^{ix})^{n+1}}-1}{e^{ix}-1}}[/latex]
[latex]\mathrm{C+iS=\frac{{(e^{ix})^{n+1}}-1}{e^{ix}-1}=\frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}}\left [ \frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}-e^{-\frac{ix(n+1)}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}}} \right ]}[/latex]
[latex]\mathrm{Por\ def.:sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]=\frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}-e^{-\frac{ix(n+1)}{2}}}{2i}}[/latex]
[latex]\mathrm{Logo:C+iS=\frac{2isin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{2isin\left ( \frac{x}{2} \right )}e^{i\left [ \frac{x(n+1)}{2}-\frac{x}{2} \right ]}=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}e^{i\left ( \frac{xn}{2} \right )}=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}cis\left ( \frac{xn}{2} \right )}[/latex]
[latex]\mathrm{Comparando:C=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]cos\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}\ e\ S=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]sin\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]
[latex]\mathrm{\therefore 1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]cos\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]
[latex]\mathrm{\therefore sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]sin\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]
Fonte: Trigonometria Plana y Esferica e Introducción al Cálculo.
Nota¹: se notarem algum erro, avisem. Escrever essas expressões em LaTeX é bem desagradável
.
Nota²: postei esta demonstração, pois é relativamente comum postarem questões deste estilo no nosso fórum.
[latex]\mathrm{Sejam\ as\ somas:\left\{\begin{matrix} \mathrm{1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)}\\ \mathrm{sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)} \end{matrix}\right.}[/latex]
[latex]\mathrm{Sejam:\left\{\begin{matrix}
\mathrm{iS=isin(x)+isin(2x)+isin(3x)+...+isin(nx)}\\
\mathrm{C=1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)}
\end{matrix}\right.}[/latex]
[latex]\mathrm{C+iS=1+cos(x)+isin(x)+cos(2x)+isin(2x)+...+cos(nx)+isin(nx)}[/latex]
[latex]\mathrm{C+iS=1+e^{ix}+e^{2ix}+...+e^{nix}}[/latex]
[latex]\mathrm{Sendo\ e^{ix}=a\ e\ considerando:1+a+a^2+a^3+...a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}}[/latex]
[latex]\mathrm{Logo:C+iS=1+e^{ix}+(e^{ix})^2+(e^{ix})^3+...+(e^{ix})^n=1+a+a^2+a^3+...+a^n=\frac{{(e^{ix})^{n+1}}-1}{e^{ix}-1}}[/latex]
[latex]\mathrm{C+iS=\frac{{(e^{ix})^{n+1}}-1}{e^{ix}-1}=\frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}}\left [ \frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}-e^{-\frac{ix(n+1)}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}}} \right ]}[/latex]
[latex]\mathrm{Por\ def.:sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]=\frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}-e^{-\frac{ix(n+1)}{2}}}{2i}}[/latex]
[latex]\mathrm{Logo:C+iS=\frac{2isin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{2isin\left ( \frac{x}{2} \right )}e^{i\left [ \frac{x(n+1)}{2}-\frac{x}{2} \right ]}=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}e^{i\left ( \frac{xn}{2} \right )}=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}cis\left ( \frac{xn}{2} \right )}[/latex]
[latex]\mathrm{Comparando:C=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]cos\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}\ e\ S=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]sin\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]
[latex]\mathrm{\therefore 1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]cos\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]
[latex]\mathrm{\therefore sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]sin\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]
Fonte: Trigonometria Plana y Esferica e Introducción al Cálculo.
Nota¹: se notarem algum erro, avisem. Escrever essas expressões em LaTeX é bem desagradável

Nota²: postei esta demonstração, pois é relativamente comum postarem questões deste estilo no nosso fórum.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 6222
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 22
Localização : São Paulo
@Khan@, Leonardo Mariano e gabriel_balbao gostam desta mensagem
Re: Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.)
Giovana Martins escreveu:Uma possível demonstração para soma de cossenos e senos cujos arcos estão em progressão aritmética.
[latex]\mathrm{Sejam\ as\ somas:\left\{\begin{matrix} \mathrm{1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)}\\ \mathrm{sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)} \end{matrix}\right.}[/latex]
[latex]\mathrm{Sejam:\left\{\begin{matrix}
\mathrm{iS=isin(x)+isin(2x)+isin(3x)+...+isin(nx)}\\
\mathrm{C=1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)}
\end{matrix}\right.}[/latex]
[latex]\mathrm{C+iS=1+cos(x)+isin(x)+cos(2x)+isin(2x)+...+cos(nx)+isin(nx)}[/latex]
[latex]\mathrm{C+iS=1+e^{ix}+e^{2ix}+...+e^{nix}}[/latex]
[latex]\mathrm{Sendo\ e^{ix}=a\ e\ considerando:1+a+a^2+a^3+...a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}}[/latex]
[latex]\mathrm{Logo:C+iS=1+e^{ix}+(e^{ix})^2+(e^{ix})^3+...+(e^{ix})^n=1+a+a^2+a^3+...+a^n=\frac{{(e^{ix})^{n+1}}-1}{e^{ix}-1}}[/latex]
[latex]\mathrm{C+iS=\frac{{(e^{ix})^{n+1}}-1}{e^{ix}-1}=\frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}}\left [ \frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}-e^{-\frac{ix(n+1)}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{-\frac{ix}{2}}} \right ]}[/latex]
[latex]\mathrm{Por\ def.:sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]=\frac{e^{\frac{ix(n+1)}{2}}-e^{-\frac{ix(n+1)}{2}}}{2i}}[/latex]
[latex]\mathrm{Logo:C+iS=\frac{2isin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{2isin\left ( \frac{x}{2} \right )}e^{i\left [ \frac{x(n+1)}{2}-\frac{x}{2} \right ]}=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}e^{i\left ( \frac{xn}{2} \right )}=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}cis\left ( \frac{xn}{2} \right )}[/latex]
[latex]\mathrm{Comparando:C=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]cos\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}\ e\ S=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]sin\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]
[latex]\mathrm{\therefore 1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]cos\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]
[latex]\mathrm{\therefore sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+...+sin(nx)=\frac{sin\left [ \frac{x(n+1)}{2} \right ]sin\left ( \frac{xn}{2} \right )}{sin\left ( \frac{x}{2} \right )}}[/latex]
Fonte: Trigonometria Plana y Esferica e Introducción al Cálculo.
Nota¹: se notarem algum erro, avisem. Escrever essas expressões em LaTeX é bem desagradável.
Nota²: postei esta demonstração, pois é relativamente comum postarem questões deste estilo no nosso fórum.
Boa Tarde! Tudo bem?
Essa demonstração já existe no fórum:
https://pir2.forumeiros.com/t185728-somatorios-trigonometricos
FocoNoITA- Jedi
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Data de inscrição : 05/05/2020
Idade : 20
Localização : Santa Helena, Paraná, Brasil
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Soma de cossenos e senos (arcos em P.A.)
Boa tarde, FocoNoITA! Tudo ótimo! Espero que você esteja bem também.
Obrigada por avisar. Irei unir nossas postagens em um único post.
Obrigada por avisar. Irei unir nossas postagens em um único post.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 6222
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 22
Localização : São Paulo
FocoNoITA gosta desta mensagem

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