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Números Complexos

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Mensagem por JoaoPedroFive Sab 04 Set 2021, 15:33

Defini-se a sequência de números complexos [latex]an= (1+i)(1+i/\sqrt{2})(1+i/\sqrt{3})....(1+i/\sqrt{n})[/latex] , para [latex]n\geqslant 1[/latex] e [latex]i= \sqrt{-1}[/latex] .
sabendo que [latex]\sum_{n-1}^{m}\left \| an-an+1 \right \|=2021 [/latex] e S é a soma dos algarismos do valor natural de m, então o valor de S é igual a:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Não consigo diminuir a letra n e o número n+1 do somatório, mas é o somatório de um termo geral an menos o seu termo posterior.


Última edição por JoaoPedroFive em Ter 07 Set 2021, 01:02, editado 2 vez(es)

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Mensagem por SilverBladeII Dom 05 Set 2021, 23:35

acho que o somatório está errado, não?
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Mensagem por JoaoPedroFive Ter 07 Set 2021, 12:38

Números Complexos SRFUqDvSEAy1BSnpKNwPCDEpSshiCcr9Yi4Ropz3gVqXiQE840BKkPem0eqfiQDs5UIG0ndys+uoIByqQdoStVaft5EAF0nZys+qrIxz4H55Ybiwyzc+5AAAAAElFTkSuQmCC  
é isso aqui.

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Mensagem por SilverBladeII Ter 07 Set 2021, 16:26

ah, entendi. pra fazer o indice em LaTeX, usa o comando a_{n}. ficaria
|a_{n}-a_{n+1}| ([latex]|a_{n}-a_{n+1}|[/latex]). 


Vamos calcular |a_n|, para um n qualquer. O módulo do produto é o produto dos módulos, portanto


[latex]\begin{align*}|a_n|&=\left|\prod_{j=1}^{n}1+\frac{i}{\sqrt{j}}\right|\\&=\prod_{j=1}^{n}\left|1+\frac{i}{\sqrt{j}}\right|\\&=\prod_{j=1}^{n} \sqrt{1+\frac{1}{j}}\\&=\prod_{j=1}^{n} \sqrt{\frac{j+1}{j}}\\&=\prod_{j=1}^{n} {\frac{\sqrt{j+1}}{\sqrt{j}}}\\&=\sqrt{n+1}\end{align*}[/latex]
Essa ultima desigualdade vem dos produtos telescopicos. resumidamente, se vc escrever o produtorio todo, vc vai ver que os numeradores vão cancelando com os denominadores [latex]\left(\tfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\tfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}\cdot\dots\cdot\tfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}\right)[/latex]

é fácil ver que [latex]a_{n+1}=a_n(1+i/\sqrt{n+1})[/latex], de forma que [latex]a_{n+1}-a_n=a_n\cdot i/\sqrt{n+1}[/latex].
Assim,

[latex]\begin{align*}
\sum_{n=1}^{m}|a_{n+1}-a_n|&=\sum_{n=1}^{m}\left|a_n\frac{i}{\sqrt{n+1}}\right|\\
&=\sum_{n=1}^{m}\sqrt{n+1}\frac{1}{\sqrt{n+1}}\\
&=\sum_{n=1}^{m} 1\\
&=m
\end{align*}[/latex]

m=2021, então S=5
[latex][/latex]
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