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Números Complexos

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Mensagem por JoaoPedroFive Sab 04 Set 2021, 15:20

Sendo Z tal que [latex]z^{7}=1 [/latex] e [latex]z\neq 1 [/latex], então o valor numérico de [latex]z^{10}+1/z^{10}+z^{30}+1/z^{30}+z^{50}+1/z^{50}[/latex] é
A) 0
B) -1
C) 1
D) 3/2
E)5/2

JoaoPedroFive
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Números Complexos Empty Re: Números Complexos

Mensagem por eduardodudu101 Sab 04 Set 2021, 22:59

[latex]S = z^^{10} + \frac{1}{z^^{10}} + z^^{30} + \frac{1}{z^^{30}} + z^^{50} + \frac{1}{z^^{50}}[/latex]



[latex]S = z^^{10} + z^^{-10} + z^^{30} + z^^{-30} + z^^{50} + z^^{-50}[/latex]

Dado [latex]z^^{7} = 1[/latex],tem-se:

[latex]z^^{10} = z^^{7}.z^^{3}[/latex]


[latex]z^^{10} = z^^{3}[/latex]


Além disso,[latex]\frac{1}{z^^{10}} = \frac{1}{z^^{3}}[/latex]


[latex]z^^{-10} = z^^{-3}[/latex]


De modo análogo para os outros termos,trabalhando com os múltiplos de 7:

[latex]z^^{30} = z^^{28}.z^^{2}[/latex]


Como 28 = 4.7,[latex]z^^{28} = 1[/latex]

[latex]z^^{30} = z^^{2}[/latex]


[latex]z^^{50} = z^^{49}.z[/latex]

[latex]z^^{50} = z[/latex]

Uma vez que 49 = 7.7

[latex]S = z^^{3} + z^{-3} + z^^{2} + z^^{-2} + z + z^^{-1}[/latex]



Com o dado do enunciado,tem-se:

[latex]z^^{3}.z^^{4} = 1[/latex]


[latex]z^^{4} = \frac{1}{z^^{3}}[/latex]



[latex]z^^{4} = z^^{-3}[/latex]



Analogamente para os demais termos com expoente negativo:

[latex]z^^{2}.z^^{5} = 1[/latex]


[latex]z^^{5} = \frac{1}{z^^{2}}[/latex]



[latex]z^^{5} = z^^{-2}[/latex]



e

[latex]z^^{6}.z^^{1} = 1[/latex]


[latex]z^^{6} = \frac{1}{z}[/latex]



[latex]z^^{6} = z^^{-1}[/latex]


Logo:

[latex]S = z^^{3} + z^^{4} + z^^{2} + z^^{5} + z + z^^{6}[/latex]


S é a soma dos 6 termos de uma P.G de razão z

[latex]S = \frac{z(z^^{6}-1)}{z-1}[/latex]


[latex]S = \frac{z^^{7} - z}{z-1}[/latex]



Como [latex]z^^{7} = 1[/latex]:

[latex]S = \frac{1 - z}{z-1}[/latex]


[latex]S = -1[/latex]
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