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(Simuado-Ime/Ita) Equação

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Mensagem por Eduardo071 Qua 01 Set 2021, 15:40

Na equação x^4-3(p+4)x^2+(p+1)²=0, p é um número inteiro tal que as quatro raízes estão P.A, cuja a razão é o dobro da menor raiz raiz positiva. Calcular a soma dos quadrados das quatro raízes.
a)84
b)190
c)160
d)150
e)180
gab:e

Eduardo071
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(Simuado-Ime/Ita) Equação Empty Re: (Simuado-Ime/Ita) Equação

Mensagem por SilverBladeII Qua 01 Set 2021, 16:43

a soma das 4 raizes estão em PA, portanto existem a e r > 0 tais que
x1=a-3r
x2=a-r
x3=a+r
x4=a+3r
que somam 4a. mas a soma das raizes é 0, portanto a=0.


a soma de produto dois a dois é
3r²-3r²-9r²-r²-3r²+3r²=-10r²=-3(p+4)
-> 10r²=3p+12


o produto de todas as raizes é
(-3r)(-r)(r)(3r)=9r4=(p+1)²
então 3r²=p+1 ou 3r²=-p-1.
no primeiro caso p=26. No segundo caso, p=-46/19, absurdo.
portanto p=26 e r=√((3*26+12)/10)=3. Assim, as raizes são -9, -3, 3 e 9, e a soma de seus quadrados é
2*81+2*9=180
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