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Conservação de energia

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Mensagem por jopagliarin Ter 31 Ago 2021, 18:00

Um grande canhão, por meio de uma mola com K = 8000N/m, atira um homem para cima com uma certa velocidade inicial que faz 45 graus com o chão. O homem atinge uma altura máxima de 2,5m em relação ao solo. Se a mola for trocada por outra que tenha o dobro da constante elástica, qual será a nova altura máxima atingida? 

A) 1,25m
B) (5.V2)4m
C) (5V2)/2m
D) 5m
E) 5V2m

Olá, pessoal, essa questão eu tentei fazer da seguinte forma:
Energia cinética + Energia potencial elástica = Energia potencial gravitacional 
m.vo² + kx² = 2mgh

Hmáx = voy² / 2g --> voy² = 50 e vo² = 100

considerei que a distensão da mola é a altura máxima... colocando os dados na primeira expressão, a massa resulta num valor negativo.


Última edição por jopagliarin em Ter 31 Ago 2021, 21:24, editado 1 vez(es)
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Mensagem por qedpetrich Ter 31 Ago 2021, 20:32

Boa noite jopagliarin;

Tentei resolver essa questão, porém não tive êxito, sabe me dizer de onde é essa questão? Parece faltar alguma informação, ou, é ignorancia da minha parte.
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Mensagem por Ceruko Ter 31 Ago 2021, 20:42

Boa noite, companheiros.

O que eu entendi da questão: 

Ponto A é o homem na boca do canhão, na iminência de ser lançado, com a mola contraída, e ponto B é o ponto mais alto da trajetória elíptica. Dado isso, e considerando-se um sistema isolado, temos: 

EmA=EmB
k.x²/2 = m.g.h + m.v²/2 

Se eu multiplicar os dois lados por 2, ou seja, dobrar a constante elástica, teremos:  2(k.x²/2) = 2(m.g.h + m.v²/2)---> k.x² = 2m.g.h + mv² 

Percebam que na segunda situação, a energia potencial gravitacional ficará multiplicada por 2, logo, a altura do sistema dobrará!  Se antes era 2,5 m, agora é 5 m. 

Pelo menos foi isso que eu entendi, não sei se o raciocínio está certo.
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Mensagem por gabriel de castro Ter 31 Ago 2021, 20:49

Olá jopagliarin e colegas,

Primeiramente, podemos calcular com a altura dada a V0Y do corpo lançado e, por meio da energia cinética, descobrir a compressão x que a mola sofreu. Então, farei o seguinte: 

[latex]V_{Y}^{2}=V_{0_{Y}}^{2}- 2.g.\Delta H\;\Rightarrow\;V_{0_{Y}}=\sqrt{2.g.\Delta H}\;\Rightarrow\;V_{0_{Y}}=\sqrt{2.10.2,5}\;\\\\\therefore\;V_{0_{Y}}=5\sqrt{2}\;m.s^{-1}[/latex]

Agora, podemos converter essa velocidade vertical na velocidade total de lançamento (V=V0Y/sen(45º)=10 m.s-1) e igualar a energia cinética com a elástica como feito abaixo:

[latex]E_{EL}=E_{C}\;\Rightarrow\;\frac{k.x^{2}}{2}=\frac{m.v^{2}}{2}\;\Rightarrow\;x=\sqrt{\frac{m.v^{2}}{k}}\;\Rightarrow\;x=\sqrt{\frac{m.\left ( 10 \right )^{2}}{8000}}\;\\\\\therefore\;x=\frac{\sqrt{5m}}{20}\;m[/latex]

Por fim, utilizando a situação proposta do enunciado faremos o seguinte:

[latex]E_{EL}=E_{C}\;\Rightarrow\;\frac{k.x^{2}}{2}=\frac{m.v^{2}}{2}\;\Rightarrow\;v=\sqrt{\frac{k.x^{2}}{m}}\;\Rightarrow\;v=\sqrt{\frac{16000.\left ( \frac{\sqrt{5m}}{20} \right )^{2}}{m}}\;\\\\\therefore\;v=10\sqrt{2}\;m.s^{-1}[/latex]


Fazendo a mesma conversão do segundo "parágrafo" e equacionando por Torricelli tem-se: 

[latex]V_{Y}^{'2}=V_{0_{Y}}^{'2}- 2.g.\Delta H'\;\Rightarrow\;\Delta H'=\frac{V_{0_{Y}}^{2}}{2.g}\;\Rightarrow\;\Delta H=\frac{\left ( 10 \right )^{2}}{2.10}\;\therefore\;\boxed{\Delta H=5\;m}[/latex]

Espero ter ajudado Smile


Última edição por gabriel de castro em Ter 31 Ago 2021, 21:30, editado 1 vez(es) (Motivo da edição : Correções de dados da autora da questão)

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Mensagem por Elcioschin Ter 31 Ago 2021, 20:53

Estou supondo que o deslocamento x da mola seja o mesmo, com as duas molas

Como o ângulo lançamento vale 45º ---> 

H = Vo².sen45º/2.g ---> H é diretamente proporcional a Vo²

Em = (1/2).k.x² ---> E'm = (1/2).(2.k).x² ---> E'm = 2.Em --->

(1/2).m.Vo'² = 2.[(1/2).m.Vo²] --> Vo'² = 2.Vo²

Como a altura máxima é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade inicial:

H' = 2.H ---> H' = 2.2,5 ---> H' = 5 m
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Mensagem por qedpetrich Ter 31 Ago 2021, 21:15

Era só ignorancia mesmo, acho que tá na hora de dormir. Compreendi galera, no caso da sua resolução gabriel, a velocidade que você calculou é referente ao instante em que a pessoa sai do canhão, correto? Quando a mola está descomprimindo, não deveria ser levado em conta a energia potencial gravitacional? Ou como Epg <<< Ec, foi desprezada.
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Mensagem por jopagliarin Ter 31 Ago 2021, 21:25

Peço desculpas. O valor de K é 8000N/m.
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Mensagem por jopagliarin Ter 31 Ago 2021, 21:36

Fiquei confusa agora.
Ainda não entendi porque não é válido que energia cinética + energia potencial elástica = energia potencial gravitacional
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Mensagem por Ceruko Ter 31 Ago 2021, 21:41

Pense assim: A partir do momento que a mola está contraída, ali naquele sistema temos somente a energia potencial elástica, sendo a energia cinética 0, pois o objeto está em repouso. No exato instante que a mola expande, toda a energia potencial elástica será convertida em energia cinética. Por isso que não se pode ter as duas energias nesse ponto A.
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Mensagem por gabriel de castro Ter 31 Ago 2021, 21:46

@qedpetrich escreveu:a)Compreendi galera, no caso da sua resolução gabriel, a velocidade que você calculou é referente ao instante em que a pessoa sai do canhão, correto? b) Quando a mola está descomprimindo, não deveria ser levado em conta a energia potencial gravitacional? c) Ou como Epg <<< Ec, foi desprezada.

Salve qedpetrich,

Pensei da seguinte forma o problema: temos uma mola sendo comprimida com determinado x e no exato instante de tempo que ela for liberada, ou seja, quando a mola estiver completamente distendida, o objeto arremessado estará com Energia Cinética máxima já que estará no marco zero do nosso sistema e não mais haverá contato entre ele e a mola (note que aqui talvez seja meio tenso imaginar a situação, mas tente puxar sua imaginação para o instante 0 do movimento). Sendo assim, sobre suas questões:

a) Sim, no exato instante de tempo em que a mola é descomprimida e a energia potencial elástica dela for inteiramente transmitida em forma de trabalho para o objeto;

b) Não, ela estará no marco zero da altura e aqui talvez seja prudente considerarmos que a distensão da mola irá ser tão importante a ponto de alterar a altura (cacofonia) do corpo;


c) Ao meu ver podemos afirmar, com certa segurança que EMecânica=ECinética na configuração que eu idealizei.

Obs.: Realizei as correções numéricas devida as alterações da jopagliarin e como são proporcionais não implicará em mudança do resultado. 

Espero ter ajudado Smile

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