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Mensagem por natanlopes_17 Seg 30 Ago 2021, 13:17

Dados os conjuntos de números inteiros positivos tais que A = {[latex]21< a< 35[/latex]} e B = {[latex]\sqrt[3]{3b}+20[/latex]∈ A}, sabendo que N representa o número de elementos de B, assinale a alternativa que traga o
valor de 2^N

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Mensagem por tales amaral Seg 30 Ago 2021, 14:01

@natanlopes_17 escreveu:Dados os conjuntos de números inteiros positivos tais que A = {[latex]21< a< 35[/latex]} e B = {[latex]\sqrt[3]{3b}+20[/latex]∈ A}, sabendo que N representa o número de elementos de B, assinale a alternativa que traga o
valor de 2^N

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Duas soluções:
1:
[latex]A = \left\{a \in \mathbb{Z}^+ \text{ } | \text{ } 21 < a< 35\right\}[/latex]


[latex]B = \left\{b \in \mathbb{R} \text{ } | \text{ } \sqrt[3]{3b}+20 \in A\right\}[/latex]


Temos [latex]\sqrt[3]{3b}+20 \in \mathbb{Z}^+[/latex] e [latex]21<\sqrt[3]{3b}+20<35 \iff 1 < \sqrt[3]{3b} < 15[/latex]. Como  [latex]\sqrt[3]{3b}+20[/latex] é inteiro e positivo, temos [latex]b = \dfrac{ k^3}{3}\text{, com }k\in\mathbb{Z}^+ \text{ e }1 < k < 15[/latex].

Aqui dá [latex]2^{13}[/latex].

2:


[latex]A = \left\{a \in \mathbb{Z}^+ \text{ } | \text{ } 21 < a< 35\right\}[/latex]


[latex]B = \left\{b \in \mathbb{Z}^+ \text{ } | \text{ } \sqrt[3]{3b}+20 \in A\right\}[/latex]


Temos [latex]\sqrt[3]{3b}+20 \in \mathbb{Z}^+[/latex] e [latex]21<\sqrt[3]{3b}+20<35 \iff 1 < \sqrt[3]{3b} < 15[/latex]. Como  [latex]\sqrt[3]{3b}+20[/latex] é inteiro e positivo, temos [latex]b = 3^2\cdot k^3\text{, com }k\in\mathbb{Z}^+ \text{ e }k<5[/latex].


Aqui dá [latex]2^{4}[/latex].
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Mensagem por natanlopes_17 Seg 30 Ago 2021, 14:11

Muito obrigado Tales, porém eu não entendi como vc definiu o ´´k´´
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Mensagem por tales amaral Seg 30 Ago 2021, 14:49

@natanlopes_17 escreveu:Muito obrigado Tales, porém eu não entendi como vc definiu o ´´k´´
É só um jeito de reescrever b. Eu só coloquei esse k ai pra tirar a raiz cúbica. Na segunda solução fica:

[latex]\sqrt[3]{3b}+20 = \sqrt[3]{3\cdot(3^2\cdot k^3)}+20 = 3k+20[/latex]


Isso aí é sempre inteiro, visto que k é inteiro.
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