Conjunto

por natanlopes_17 Seg 30 Ago 2021, 14:17

Dados os conjuntos de números inteiros positivos tais que A = {[latex]21< a< 35[/latex]} e B = {[latex]\sqrt[3]{3b}+20[/latex]∈ A}, sabendo que N representa o número de elementos de B, assinale a alternativa que traga o
valor de 2^N

gab:16

por **tales amaral** Seg 30 Ago 2021, 15:01

natanlopes_17 escreveu:Dados os conjuntos de números inteiros positivos tais que A = {[latex]21< a< 35[/latex]} e B = {[latex]\sqrt[3]{3b}+20[/latex]∈ A}, sabendo que N representa o número de elementos de B, assinale a alternativa que traga o
valor de 2^N

gab:16

Duas soluções:
1:
[latex]A = \left\{a \in \mathbb{Z}^+ \text{ } | \text{ } 21 < a< 35\right\}[/latex]

[latex]B = \left\{b \in \mathbb{R} \text{ } | \text{ } \sqrt[3]{3b}+20 \in A\right\}[/latex]

Temos [latex]\sqrt[3]{3b}+20 \in \mathbb{Z}^+[/latex] e [latex]21<\sqrt[3]{3b}+20<35 \iff 1 < \sqrt[3]{3b} < 15[/latex]. Como [latex]\sqrt[3]{3b}+20[/latex] é inteiro e positivo, temos [latex]b = \dfrac{ k^3}{3}\text{, com }k\in\mathbb{Z}^+ \text{ e }1 < k < 15[/latex].

Aqui dá [latex]2^{13}[/latex].

2:

[latex]A = \left\{a \in \mathbb{Z}^+ \text{ } | \text{ } 21 < a< 35\right\}[/latex]

[latex]B = \left\{b \in \mathbb{Z}^+ \text{ } | \text{ } \sqrt[3]{3b}+20 \in A\right\}[/latex]

Temos [latex]\sqrt[3]{3b}+20 \in \mathbb{Z}^+[/latex] e [latex]21<\sqrt[3]{3b}+20<35 \iff 1 < \sqrt[3]{3b} < 15[/latex]. Como [latex]\sqrt[3]{3b}+20[/latex] é inteiro e positivo, temos [latex]b = 3^2\cdot k^3\text{, com }k\in\mathbb{Z}^+ \text{ e }k<5[/latex].

Aqui dá [latex]2^{4}[/latex].

por natanlopes_17 Seg 30 Ago 2021, 15:11

Muito obrigado Tales, porém eu não entendi como vc definiu o ´´k´´

por **tales amaral** Seg 30 Ago 2021, 15:49

natanlopes_17 escreveu:Muito obrigado Tales, porém eu não entendi como vc definiu o ´´k´´

É só um jeito de reescrever b. Eu só coloquei esse k ai pra tirar a raiz cúbica. Na segunda solução fica:

[latex]\sqrt[3]{3b}+20 = \sqrt[3]{3\cdot(3^2\cdot k^3)}+20 = 3k+20[/latex]

Isso aí é sempre inteiro, visto que k é inteiro.

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