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(Simuado-Ime/Ita) Equação

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(Simuado-Ime/Ita) Equação Empty (Simuado-Ime/Ita) Equação

Mensagem por Eduardo071 Dom 29 Ago 2021, 15:44

Dadas as equações: x^4+cx^2+d=0; x^5+px^4+qx^3+qx^2+px+1=0. Sabe-se duas das raízes de cada equação são a e b (números positivos)se a soma das nove raízes das equações é ab e o produto de todas elas é -4. Calcular (a+b).
a)5
b)4
c)3
d)2
e)1
gab:d

Eduardo071
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(Simuado-Ime/Ita) Equação Empty Re: (Simuado-Ime/Ita) Equação

Mensagem por SilverBladeII Dom 29 Ago 2021, 22:59

sejam a, b, r, s as raízes de p1 e a, b, t, u, v=-1 as raízes de p2.
então, por girard-viete:


a+b+r+s=0; (i)
abrs=d;        (ii)

a+b+t+u+v=-p (iii)
abtuv=-1


então
ab=(a+b+r+s)+(a+b+t+u+v)=-p
e
-4=(abrs)(abtuv)=-d.  (iv)

de (i), obtemos a+b=-(r+s)
e, ainda das formulas de viete em p1, 
abr+abs+ars+brs=0 
ab(r+s)+rs(a+b)=(a+b)(rs-ab)=0
como a, b > 0, a+b > 0, portanto
ab=rs
mas de (iv)
abrs=4 -> (ab)²=4 -> ab=2 (pois ab > 0)


Ora, a e b não são inversos entre si, e como a e b são raizes de p2, que é um polinomio simetrico, resta que, 
spg, t=1/a e u=1/b
de (iii), obtemos
a+b+1/a+1/b-1=2
a+b+(a+b)/(ab)=3
3(a+b)/2=3
a+b=2


então teoricamente o gabarito seria d,
o problema é que não existem reais a, b satisfazendo a+b=2 e ab=2
então eu posso ter errado em algum lugar, se vc encontrar o erro, ou não tiver entendido algo, ent avisa aí pf.
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