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Equação

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Equação Empty Equação

Mensagem por Eduardo071 Ter 24 Ago 2021, 13:35

Há exatamente N números racionais K distintos, tal que |K|<200 e 5x²+kx+12=0, tem pelo menos uma solução inteira para x. Qual é o valor de N?
a)12
b)24
c)6
d)48
e)78
gab:e

Eduardo071
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Equação Empty Re: Equação

Mensagem por Elcioschin Ter 24 Ago 2021, 18:15

Um possível caminho:

5.x² + k.x + 12 = 0

∆ = b² - 4.a.c ---> ∆ = k² - 4.5.12 ---> ∆ = k² - 240

Para existir uma raiz inteira ela é real --->   0 --> k²  240

k deve ser inteiro e k² - 240 deve ser quadrado perfeito:

1) Para k = 16 ---> 16² - 240 = 16 = 4² ---> OK

x = (-16 ±­ 4)/2.5  ---> raiz inteira: x = -2

2) Para k = 17 ---> 17² - 240 = 49 = 7² ---> OK

x = (-17 ±­ 7)/2.5  ---> raiz inteira: x = -1---> OK


Tente completar.
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Mensagem por Edu lima Ter 24 Ago 2021, 19:34

Vamos utilizar a propriedade: |x|< a = -a < x < a

Assim, -200 < k < 200

Vamos chamar a Soma das Raízes de N

Logo, N=-k/5

Dividindo o intervalo acima por -5, teremos:

-40 < -k/5 < 40, Substituindo -k/5 por N(conjunto das somas das raízes), teremos:

-40 < N < 40, logo N={-39,-38,-37,...,-1,1,...,37,38,39}

Logo, há exatamente 78 número para N que está associado a 78 números múltiplos de 5 da forma -k/5.

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