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Arco de circunferência (2)

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Resolvido Arco de circunferência (2)

Mensagem por JohnnyC Sex 20 Ago 2021, 17:14

Considere o quadrado de lado 6 cm da figura. Calcule o comprimento da figura assinalada. 

R: 4π cm.


pessoal, eu estou encontrando apenas 3π cm. Se traçarmos uma reta ligando os 2 pontos opostos da figura assinalada (fazer uma "cruz") vamos ver que teremos 4 arcos de 1/8 de circunferência. Logo: 4.1/8 = 1/2 de circunf. Logo: 2piR/2 = piR cm.
Sendo o raio 3 cm, então 3pi cm de comprimento total.
Como faz a questão ? obrigado.



Arco de circunferência (2) 20210815


Última edição por JohnnyC em Sex 20 Ago 2021, 19:16, editado 2 vez(es)
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Resolvido Re: Arco de circunferência (2)

Mensagem por qedpetrich Sex 20 Ago 2021, 17:29

Olá Johnny;

Pensei da seguinte forma:
4 semicircunferências valendo 1/4 da circunferência completa. Cada comprimento pode ser dividido em 3. Temos então: 4*(2π6)/(4*3) = 4π cm


Última edição por qedpetrich em Sex 20 Ago 2021, 17:55, editado 2 vez(es)
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Resolvido Re: Arco de circunferência (2)

Mensagem por Elcioschin Sex 20 Ago 2021, 17:44

Vide figura:

Arco de circunferência (2) Arcose12


Última edição por Elcioschin em Sex 20 Ago 2021, 19:09, editado 2 vez(es)
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Resolvido Re: Arco de circunferência (2)

Mensagem por JohnnyC Sex 20 Ago 2021, 17:59

Mestre e Qedpetrich, muito obrigado aos dois pelas ajudas. Eu consegui compreender que, sim, realmente a figura será formada por 4 arcos de 1/4 de circunferência. Porém, o raio não deveria ser 3 cm ? Digo isso porque basta olharmos o polígono circunscrito à circunferência e veremos que o raio vale 3 cm. Tipo, desenhando uma circunferência completa inscrita no quadrado, o raio dela será metade do lado do quadrado.

E qedpetrich, eu não consegui compreender a razão de cada arco valer 1/3. Poderia explicar ? Me desculpem se são perguntas muito óbvias.

E Mestre, confesso que não entendi muito bem sua resolução...
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Resolvido Re: Arco de circunferência (2)

Mensagem por qedpetrich Sex 20 Ago 2021, 18:08

JohnnyC, o mestre já provou com os arcos, veja que o arco DB = 3π. Na imagem o Elcio identificou-os. Não entendi muito bem a parte do arco AE = arco EF= arco FB = π, para mim faria mais sentido o arco DE = arco EF = arco FB = π. Na minha visão o arco AE = 2π, não?


Última edição por qedpetrich em Sex 20 Ago 2021, 18:15, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Arco de circunferência (2)

Mensagem por qedpetrich Sex 20 Ago 2021, 18:12

Ah já ia me esquecendo, veja que o lado é igual ao raio. Seria como você deslocasse sucessivamente o raio (lado 6cm) até o outro lado do quadrado. Uma imagem para visualizar melhor, os raios estão em vermelho:

Arco de circunferência (2) Image_10
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Resolvido Re: Arco de circunferência (2)

Mensagem por JohnnyC Sex 20 Ago 2021, 18:20

Graças a Deus consegui entender!!!!! Eu tava muito focado no azul, e não na parte tracejada. Já tava doendo a cabeça de pensar aqui rsrs.
Muito obrigado pela ajuda, Mestre e qedpetrich <3
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Resolvido Re: Arco de circunferência (2)

Mensagem por qedpetrich Sex 20 Ago 2021, 18:43

Note que o triângulo vermelho (figura abaixo) é um triângulo equilátero, pois os lados são iguais ao raio do círculo que forma os arcos presentes no interior do quadrado. Por ser equilátero, é equiângulo, ou seja, apresenta ângulos iguais a π/3 (60°).

No triângulo azul temos: hipotenusa = raio ; cateto vertical = valendo metade do quadrado, ou seja, metade do raio. Portanto, usando as relações trigonométricas -> sen α = cateto oposto/hipotenusa = (R/2)/R -> 1/2, logo, α = π/6 (30°). Como temos um triângulo retângulo, fica fácil perceber que o outro ângulo é de π/3 (60°). Assim, podemos concluir que cada ''lado'' da figura pintada de azul é um arco de π/3 - π/6 = π/6. Concluímos que o comprimento de cada lado da figura azul é (12π/360)*30 = π. Logo o perímetro da figura toda fica 4π.

Arco de circunferência (2) Image_11
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Resolvido Re: Arco de circunferência (2)

Mensagem por JohnnyC Sex 20 Ago 2021, 18:56

Uma ótima resolução alternativa. Também consegui compreender, mas acho que a sua 1ª resolução é mais fácil. Essa 2ª é mais "bonita", o corretor iria adorar corrigi-la rsrs...muito obrigado. bro.
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Resolvido Re: Arco de circunferência (2)

Mensagem por Elcioschin Sex 20 Ago 2021, 19:00

Erro de digitação na minha figura:

Onde está escrito: arco AE + arco EF = arco FB, o correto é:

arco DE + arco EF = arco FB

Vou editar minha figura original.
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Resolvido Re: Arco de circunferência (2)

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