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Limitando superiormente e Cálculo de Limite

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Resolvido Limitando superiormente e Cálculo de Limite

Mensagem por Pirez1590 Ter 17 Ago 2021, 10:36

1. Seja 
 En = (1+1/n)^n , n e N
(a) Provar que En é limitada superiormente pelo valor 3. 
(b) Concluir que ∃ limn→∞ (1+1/n)^n
(c) Denote por e o limite do item anterior e calcule o maior inteiro que não supera o valor de e.

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Resolvido Re: Limitando superiormente e Cálculo de Limite

Mensagem por SilverBladeII Qui 19 Ago 2021, 03:10

Se eu não me engano existe uma solução bem mais simples e mais curta, não lembro exatamente,
mas um amigo meu e eu achamos uma solução bem legal (e meio extensa). Aqui vai:

a) fica a cargo do leitor que o resultado é valido para os inteiros entre 1 e 6. Então vamos provar para n>6.
Lema: Para todo [latex]n > 6[/latex] natural vale que
[latex]n^{n-2}(n+2)^{n+1}(n-1) < (n+1)^{2n}[/latex]

Primeiramente, perceba que
[latex]n^{n-2}(n+2)^{n+1}(n-1)=(n-1)(n+2)^3 (n^2+2n)^{n-2}[/latex]

E veja que
[latex](n+1)^4\frac{n^2+3n-2}{n^2+2n} > (n-1)(n+2)^3[/latex].
De fato, 
[latex](n+1)^4{(n^2+3n-2)}-(n+1)(n+2)^3(n^2+2n)=6 n^3 + 17 n^2 + 11 n - 2[/latex]
Que é claramente positivo para qualquer n natural.

Mas então
[latex]\begin{align*}
(n-1)(n+2)^3 (n^2+2n)^{n-2} &< (n+1)^4\frac{n^2+3n-2}{n^2+2n}(n^2+2n)^{n-2}\\
&=(n+1)^4(n^2+3n-2)(n^2+2n)^{n-3}\\
\end{align*}[/latex]

Aplicando MA Mg, obtemos
[latex]\begin{align*}
(n^2+3n-2)(n^2+2n)^{n-3}&=(n^2+3n-2)\overbrace{(n^2+2n)\cdot\dots\cdot(n^2+2n)}^{n-3}\\
&\leq \left(\frac{n^2+3n-2+(n-3)(n^2+2n)}{n-2}\right)^{n-2}\\
&= \left(\frac{n^3-3n-2}{n-2}\right)^{n-2}\\
&= \left(\frac{(n-2)(n+1)^2}{n-2}\right)^{n-2}\\
&=(n+1)^{2n-4}
\end{align*}[/latex]

Dessa forma,
[latex]\begin{align*}
(n+1)^4(n^2+3n-2)(n^2+2n)^{n-3} < (n+1)^4(n+1)^{2n-4}=(n+1)^{2n}\\
\end{align*}[/latex]
e provamos o lema.

Observe, então que (manipulando algebricamente)
[latex]\begin{align*}
n^{n-2}(n+2)^{n+1}(n-1) &< (n+1)^{2n}\\
\iff 1+\frac{1}{n+1} &< \left(1+\frac{1}{n}\right)\sqrt[n+1]{\frac{n^3}{(n-1)(n+1)^2}}
\end{align*}[/latex]
Para todo natural n>6.


FINALMENTE podemos resolver a questão  cheers cheers cheers

Vamos provar, por indução, que, para todo n>6,
[latex]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < 2.9-\frac{2.9}{n}[/latex]
Fica como exercício mostrar que vale para n=7 (usa uma calculadora).

Suponha que o resultado valha para n. Então, para n+1:
[latex]\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} &< \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\frac{n^3}{(n-1)(n+1)^2}\\
&< \frac{n^3}{(n-1)(n+1)^2} \left(1+\frac{1}{n}\right) \left(2.9-\frac{2.9}{n}\right)\\
&= \frac{n^3}{(n-1)(n+1)^2}\cdot 2.9\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\\
&=2.9 \frac{n^3}{(n-1)(n+1)^2}\cdot \frac{n^2-1}{n^2}\\
&=2.9\frac{n}{n+1}\\
&=2.9\left(1-\frac{1}{n+1}\right)
\end{align*}[/latex]
e temos o que queríamos.

(caramba que sol longa do caramba kkkkkkkkkkkk os proximos itens vão ser bem curtinhos, prometo).


b) aplica MA MG loucamente em 1*(1+1/n)^n (tem n+1 numeros, n vezes (1+1/n)e uma vez em 1) para obter que
(1+1/n)^n < (1+1/(n+1))^(n+1)
(ou seja, a sequencia é crescente). Ora, toda sequencia crescente e limitada tem limite, e temos o que queríamos.

c) Basta usar a desigualdade de bernoulli, ou expande usando o binomio de newton, de qualquer forma é facinho descobrir que
(1+1/n)^n>2.
Portanto 2 < e < 3, isso implica que parte inteira de e é 2.
[latex][/latex]


Ps. dei uma pesquisada aq e realmente tem uma sol bem bonitinha e curtinha pro item a. envolve a expansão do binomio
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Resolvido Re: Limitando superiormente e Cálculo de Limite

Mensagem por SilverBladeII Dom 22 Ago 2021, 16:30

pensando aqui, temos o seguinte:
seja x um real. então e < x se, e somente se existe n tal que 
(1+1/n)n < x(1-1/n)
a ida é mais simples de provar, a volta vc tem que usar a sol do item a) com um pequeno ajuste
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Resolvido Re: Limitando superiormente e Cálculo de Limite

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