Lei dos cossenos - FGV (SP)
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Lei dos cossenos - FGV (SP)
Na figura seguinte, AB = BC = CD = DE = 2 e A^BC = B^CD = 2pi/3 e C^DE = pi/2. Calcule a distância entre os pontos A e E.
R: 2[√(5 - 2√3)]
pessoal, não soube fazer essa questão. Alguém poderia ajudar ? eu pensei em calcular AC por lei dos cossenos e CE por Pitágoras e fazer um triângulo ACE, mas acho que não dá certo...obrigado.
ps: como não sei usar o LaTex, tudo dentro do parênteses está dentro da raiz quadrada. Lê-se: 2 raiz quadrada de (cinco - 2 raiz de 3)
R: 2[√(5 - 2√3)]
pessoal, não soube fazer essa questão. Alguém poderia ajudar ? eu pensei em calcular AC por lei dos cossenos e CE por Pitágoras e fazer um triângulo ACE, mas acho que não dá certo...obrigado.
ps: como não sei usar o LaTex, tudo dentro do parênteses está dentro da raiz quadrada. Lê-se: 2 raiz quadrada de (cinco - 2 raiz de 3)
Última edição por JohnnyC em Sáb 14 Ago 2021, 02:10, editado 1 vez(es)
JohnnyC- Estrela Dourada
- Mensagens : 1094
Data de inscrição : 03/03/2016
Localização : Rio de Janeiro
Re: Lei dos cossenos - FGV (SP)
No triângulo ABC: A^BC = 120º ---> BÂC = B^CA = 30º
No triângulo BCD: B^CD = 120º ---> C^BD = C^DB = 30º
Lei dos cossenos em ABC: AC² = AB² + BC² - 2.AB.CD.cosA^BC --->
AC² = 2² + 2² - 2.2.2.cos120º ---> AC² = 12 ---> AC = 2.√3
No triângulo retângulo CDE ---> CE² = CD² + DE² --> CE² = 8 ---> CE = 2.√2
Lei dos cossenos no triângulo ACE:
AE² = AC² + CE² - 2.AC.CE.cosA^CE ---> AE² = 12 + 8 - 2.(2.√2).(2.√2).cos45º
Calcule AE
No triângulo BCD: B^CD = 120º ---> C^BD = C^DB = 30º
Lei dos cossenos em ABC: AC² = AB² + BC² - 2.AB.CD.cosA^BC --->
AC² = 2² + 2² - 2.2.2.cos120º ---> AC² = 12 ---> AC = 2.√3
No triângulo retângulo CDE ---> CE² = CD² + DE² --> CE² = 8 ---> CE = 2.√2
Lei dos cossenos no triângulo ACE:
AE² = AC² + CE² - 2.AC.CE.cosA^CE ---> AE² = 12 + 8 - 2.(2.√2).(2.√2).cos45º
Calcule AE
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
JohnnyC gosta desta mensagem
Re: Lei dos cossenos - FGV (SP)
Muito obrigado pela ajuda, Mestre!!!!
Agora ficou tranquilo...assim que eu terminar de botar no papel e ver que bateu com o gabarito, marco a questão com resolvido.
Agora ficou tranquilo...assim que eu terminar de botar no papel e ver que bateu com o gabarito, marco a questão com resolvido.
JohnnyC- Estrela Dourada
- Mensagens : 1094
Data de inscrição : 03/03/2016
Localização : Rio de Janeiro
Re: Lei dos cossenos - FGV (SP)
Deu certíssimo! Obrigado, Mestre.
JohnnyC- Estrela Dourada
- Mensagens : 1094
Data de inscrição : 03/03/2016
Localização : Rio de Janeiro
Re: Lei dos cossenos - FGV (SP)
Johnny,
um modo com menos conta, mais rápido.
Note que temos segmentos de mesmo tamanho (2), três deles ligados por ângulos de 120º. Isto nos lembra a metade de um hexágono regular com R=2 -- acompanhe esta adaptação no desenho à direita. Assim, já temos AD=4, o ângulo CˆDB=60º e consequentemente o ângulo AˆDE=30º. Agora é só a lei dos cossenos.
um modo com menos conta, mais rápido.
Note que temos segmentos de mesmo tamanho (2), três deles ligados por ângulos de 120º. Isto nos lembra a metade de um hexágono regular com R=2 -- acompanhe esta adaptação no desenho à direita. Assim, já temos AD=4, o ângulo CˆDB=60º e consequentemente o ângulo AˆDE=30º. Agora é só a lei dos cossenos.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
JohnnyC gosta desta mensagem
Re: Lei dos cossenos - FGV (SP)
Excelente resolução, Medeiros. Confesso que não conseguiria pensar nela (talvez o raciocínio seja mais difícil, embora seja mais rápida), mas é uma excelente resolução alternativa. Anotei o passo-a-passo da sua resolução. Muito obrigado, amigo.
JohnnyC- Estrela Dourada
- Mensagens : 1094
Data de inscrição : 03/03/2016
Localização : Rio de Janeiro
Re: Lei dos cossenos - FGV (SP)
Ao contrário, Johnny, o raciocínio é mais fácil. É só pensar: o que eu já conheço, que já está pronto e eu posso usar aqui, assim facilitando o meu trabalho?
A gente aproveita tudo o que já fez; não fazemos de novo. Note que o elaborador da questão, só de sacanagem, não desenhou corretamente os ângulos para assim atrapalhar essa nossa visão. Se ele tivesse desenhado direito isto ficaria evidente à primeira vista.
A gente aproveita tudo o que já fez; não fazemos de novo. Note que o elaborador da questão, só de sacanagem, não desenhou corretamente os ângulos para assim atrapalhar essa nossa visão. Se ele tivesse desenhado direito isto ficaria evidente à primeira vista.
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10368
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
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