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Método da Carga Imagem

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Método da Carga Imagem Empty Método da Carga Imagem

Mensagem por FocoNoITA Qui 05 Ago 2021, 15:58

Seja q uma carga colocada a uma distância "a" do centro de uma esfera condutora aterrada de raio R. Determine a carga q' induzida na esfera e a distância "b" que esta estaria do centro, caso fosse considerada pontual.


Gabarito:
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Última edição por FocoNoITA em Qui 05 Ago 2021, 17:13, editado 1 vez(es)
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Método da Carga Imagem Empty Re: Método da Carga Imagem

Mensagem por PedroF. Qui 05 Ago 2021, 17:09

Olá Método da Carga Imagem 1f609 , como queremos que o potencial no condutor seja nulo (aterrada), utilizamos uma carga imagem pontual simétrica a carga colocada com relação a esfera tal que anulem o potencial no condutor. Porém desconhecemos a posição de q' e também desconhecemos seu valor, assim teremos que equacionar o potencial resultante em dois pontos do condutor, já que temos duas incógnitas. Segue uma imagem para acompanhar:
Método da Carga Imagem Paintp11

Equacionando o potencial nos pontos marcados com 1 e 2 (sendo os pontos marcados colineares para facilitar os cálculos):
[latex]1:\;0=\frac{k.q}{a-R}+\frac{k.q'}{R-b}\rightarrow q'=\frac{R-b}{a-R}*(-q)\\\\2:\;0=\frac{k.q}{a+R}+\frac{k.q'}{b+R}\rightarrow q'=\frac{b+R}{R+a}*(-q)[/latex]


[latex]\frac{R-b}{a-R}*(-q)=\frac{b+R}{R+a}*(-q)\rightarrow R^2+a.R-b.R-ab=a.R+ab-b.R-R^2\\\\2R^2=2a.b\Rightarrow b=\frac{R^2}{a}[/latex]



Agora, basta substituirmos em uma das equações para obter o valor da carga:


[latex]q'=\frac{b+R}{R+a}*(-q)=\frac{\frac{R^2}{a}+R}{R+a}*(-q)=-q*\frac{R}{a}[/latex]


obs.: Poderíamos ter generalizado um ponto do condutor e feito as contas a partir disso, porém, como isso se trata apenas de formalização e chegaria no mesmo resultado, resolvi adotando esses pontos.

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