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(MIT) Equação

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(MIT) Equação Empty (MIT) Equação

Mensagem por LARA01 Sex 23 Jul 2021, 17:13

Se a, b, c e d são raízes da equação x^4 + 2x^3 +2x^2 + 2x + 1=0. Então o valor da expressão a^2020+b^2020+c^2020+d^2020 é igual a:
a)2
b)3
c)2^2020
d)3^2020
e)1
resp:b

LARA01
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(MIT) Equação Empty Re: (MIT) Equação

Mensagem por gilberto97 Sex 23 Jul 2021, 17:41

Olá, Lara. 

Trata-se de uma equação recíproca. 

(MIT) Equação Img-6mC6hC2Q

(MIT) Equação Img-K2UTXmMg

Isolando x^2, temos que:

(MIT) Equação Img-rxx1Nzsg

Obs: Sabemos, pelo polinômio original, que x = 0 não é raiz, então podemos isolar o x^2. Além disso, faremos a seguinte substituição:

(MIT) Equação Img-B32AGfsz

(MIT) Equação Img-xJVsnp8E

Substituindo na equação original:

(MIT) Equação Img-Xy9KPKPA

(MIT) Equação Img-CVFzmAGZ

Temos duas possibilidades: y = 0 ou y = -2.

Se y = 0:

(MIT) Equação Img-mSSCBUfA

(MIT) Equação Img-mZdPUy3s

Se y = -2:

(MIT) Equação Img-dxCGxwaa

Observe que -1 é raiz dupla. 

As raízes são: i, -i e -1.

A soma procurada:

S = i^2020 + (-i)^2020 + (-1)^2020

S = 2i^2020 + 1

Observe que i^2020 = 1 (deixo como exercício). 

Então, S = 2 + 1 = 3.
gilberto97
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