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Geometria Plana

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Resolvido Geometria Plana

Mensagem por eduardofem Qui 22 Jul 2021, 17:43

No projeto a seguir, os pontos C, D e B são colineares e o
triângulo CAB é retângulo em A...
Geometria Plana  Captur16
Alguém pode me mostrar uma saída para essa questão? Desde já, grato!


Última edição por eduardofem em Ter 27 Jul 2021, 23:46, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Geometria Plana

Mensagem por Elcioschin Qui 22 Jul 2021, 23:04

Faça DÂB = θ e seja AD = x

CÂB = 90º ---> CÂD = 90º - θ

Calcule A^BD e A^DC em função de α e θ


Use Lei dos senos e/ou Lei dos cossenos nos triângulos e calcule AD = x
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Resolvido Re: Geometria Plana

Mensagem por Medeiros Sex 23 Jul 2021, 00:14

Geometria Plana  Scre1506

No ∆ACD, 4α é ângulo externo e Ĉ=α, então CÂD=3α.

O = ponto médio de BC = circuncentro -----> OA = OB = OC = (BD + CD)/2 = 7
portanto o ∆AOC é isósceles de base AC -----> CÂO = AĈO = α
ainda, BD = 3, OB = 7 -----> OD = 4

OÂD = CÂD - CÂO = 3α - α = 2α
no ∆ACO, o ângulo AÔD é externo e vale Ĉ+Â = α + α = 2α
portanto o ∆AOD é isósceles de base AO -----> AD = OD = 4 ------> AD = 4
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Resolvido Re: Geometria Plana

Mensagem por Ceruko Sex 23 Jul 2021, 08:54

Medeiros, você concluiu que o segmento AO é igual a CO e BO porque AO é mediana de um triângulo retângulo, certo?

E por que o ponto O seria circuncentro?
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Resolvido Re: Geometria Plana

Mensagem por Elcioschin Sex 23 Jul 2021, 10:06

Porque OA = OB = OC, logo O é circuncentro da circunferência que passa por A, B, C
Lembre-se que todo triângulo retângulo é inscritível numa semicircunferência que tem a hipotenusa por diâmetro.
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Resolvido Re: Geometria Plana

Mensagem por Ceruko Sex 23 Jul 2021, 10:23

Ahh sim, consegui visualizar melhor.

Seria como a imagem que fiz?
 
Geometria Plana  5j6jq0YFiAAAAAElFTkSuQmCC
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Resolvido Re: Geometria Plana

Mensagem por Elcioschin Sex 23 Jul 2021, 10:37

Exatamente.
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Resolvido Re: Geometria Plana

Mensagem por eduardofem Sex 23 Jul 2021, 17:00

@Medeiros escreveu:Geometria Plana  Scre1506

No ∆ACD, 4α é ângulo externo e Ĉ=α, então CÂD=3α.

O = ponto médio de BC = circuncentro -----> OA = OB = OC = (BD + CD)/2 = 7
portanto o ∆AOC é isósceles de base AC -----> CÂO = AĈO = α
ainda,  BD = 3, OB = 7 -----> OD = 4

OÂD = CÂD - CÂO = 3α - α = 2α
no ∆ACO, o ângulo AÔD é externo e vale Ĉ+Â = α + α = 2α
portanto o ∆AOD é isósceles de base AO -----> AD = OD = 4 ------> AD = 4
Muito obrigado mesmo, não havia percebido que poderia inscrever o triângulo na circunferência.
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Resolvido Re: Geometria Plana

Mensagem por Medeiros Sex 23 Jul 2021, 23:27

Ceruko,
repetindo o já dito pelo Élcio.

Todo triângulo pode ser inscrito numa circunferência, a vantagem do triângulo retângulo é que ele contém o diâmetro dela -- ou seja, o triângulo retângulo se encaixa em exatamente meia circunferência. Desta forma, o ponto médio da hipotenusa é o circuncentro e a distância dele aos vértices é o próprio raio, logo são todas de mesma medida. Em consequência, já que O é ponto médio, a ceviana do ângulo reto até O é uma mediana. Adicionalmente, ao traçar esta mediana formam-se dois triângulos isósceles que a tem como uma das pernas.
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