Triângulos - Perímetros

João desenhou todos os perímetros de perímetro igual a 36, cujos lados são expressos por números inteiros. Pedro fez o mesmo para os triângulos de perímetro igual a 39. Se x é o número de triângulos que um deles desenhou a mais que o outro, então x é igual a:

GABARITO: 10

É muito mais fácil analisar quando temos os possíveis valores para o maior lado de cada triângulo.

Em um triângulo qualquer cujo perímetro vale P, o valor do maior lado (u) pode ser dado como

[latex]\\\mbox{P}/3\leq u <\mbox{P}/2[/latex]


Para P = 36, temos que o maior lado varia de 12 a 17;
Para P = 39, temos que o maior lado varia de 13 a 19.


Basta agora analisar a soma dos outros dois lados (P - u):

P = 36: 1+2+4+5+7+8 triângulos

24: 12+12
23: 13+10, 12+11  
22: 14+8, 13+9, 12+10, 11+11
21: 15+6, 14+7, 13+8, 12+9, 11+10
20: 16+4, 15+5, 14+6, 13+7, 12+8, 11+9, 10+10
19: 17+2, 16+3, 15+4, 14+5, 13+6, 12+7, 11+8, 10+9

P = 39: 1+2+4+5+7+8+10 triângulos

26: 13+13
25: 14+11, 13+12
24: 15+9, 14+10, 13+11, 12+12
23: 16+7, 15+8, 14+9, 13+10, 12+11
22: 17+5, 16+6, 15+7, 14+8, 13+9, 12+10, 11+11
21: 18+3, 17+4, 16+5, 15+6, 14+7, 13+8, 12+9, 11+10
20: 19+1, 18+2, 17+3, 16+4, 15+5, 14+6, 13+7, 12+8, 11+9, 10+10

A diferença é de 10 triângulos.

Skyandee escreveu:É muito mais fácil analisar quando temos os possíveis valores para o maior lado de cada triângulo.

Em um triângulo qualquer cujo perímetro vale P, o valor do maior lado (u) pode ser dado como

[latex]\\\mbox{P}/3\leq u <\mbox{P}/2[/latex]


Para P = 36, temos que o maior lado varia de 12 a 17;
Para P = 39, temos que o maior lado varia de 13 a 19.


Basta agora analisar a soma dos outros dois lados (P - u):

P = 36: 1+2+4+5+7+8 triângulos

24: 12+12
23: 13+10, 12+11  
22: 14+8, 13+9, 12+10, 11+11
21: 15+6, 14+7, 13+8, 12+9, 11+10
20: 16+4, 15+5, 14+6, 13+7, 12+8, 11+9, 10+10
19: 17+2, 16+3, 15+4, 14+5, 13+6, 12+7, 11+8, 10+9

P = 39: 1+2+4+5+7+8+10 triângulos

26: 13+13
25: 14+11, 13+12
24: 15+9, 14+10, 13+11, 12+12
23: 16+7, 15+8, 14+9, 13+10, 12+11
22: 17+5, 16+6, 15+7, 14+8, 13+9, 12+10, 11+11
21: 18+3, 17+4, 16+5, 15+6, 14+7, 13+8, 12+9, 11+10
20: 19+1, 18+2, 17+3, 16+4, 15+5, 14+6, 13+7, 12+8, 11+9, 10+10

A diferença é de 10 triângulos.

Muitíssimo obrigado, Skyandee!