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Logaritmo

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Resolvido Logaritmo

Mensagem por eduardodudu101 Qua 21 Jul 2021, 23:03

Sejam [latex]x,y,z>0 [/latex] e [latex]x\neq 1,y\neq 1,z\neq 1[/latex] tais que log(x) + log(y) + log(z) = 0. Determine o valor de

[latex]x^{\frac{1}{logy} + \frac{1}{logz}}y^{\frac{1}{logx} + \frac{1}{logz}} z^{\frac{1}{logx} + \frac{1}{logy}}[/latex]


a)10
b)10^-3
c)10^3
d)1
e)10^-2

Não possuo o gabarito.

Consegui chegar em log(E)log(x)log(y)log(z) =(-1)[log³(x) + log³(y) + log³(z)],sendo E a expressão pedida.


Última edição por eduardodudu101 em Qui 22 Jul 2021, 09:20, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Logaritmo

Mensagem por tales amaral Qui 22 Jul 2021, 08:50

Consegui fazer assim  cheers:


[latex]\log(x) + \log(y) + \log(z) = 0 \implies xyz = 1 [/latex]






Seja E a expressão:


[latex]\begin{align*} E &=x^{\dfrac{1}{\log y}+\dfrac{1}{\log z}}\cdot y^{\dfrac{1}{\log x}+\dfrac{1}{\log z}}\cdot z^{\dfrac{1}{\log x}+\dfrac{1}{\log y}}\\~\\ &= x^{\dfrac{1}{\log y}}\cdot x^{\dfrac{1}{\log z}}\cdot y^{\dfrac{1}{\log x}}\cdot y^{\dfrac{1}{\log z}}\cdot z^{\dfrac{1}{\log x}}\cdot z^{\dfrac{1}{\log y}}\\~\\ &=\left(xz \right)^{\dfrac{1}{\log y}}\cdot\left(xy\right)^{\dfrac{1}{\log z}}\cdot (yz)^{\dfrac{1}{\log x}}\\~\\ &=\left(\dfrac{1}{y}\right)^{\dfrac{1}{\log y}}\cdot \left(\dfrac{1}{z}\right)^{\dfrac{1}{\log z}}\cdot \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\dfrac{1}{\log x}}\\~\\ &= x^{-\dfrac{1}{\log x}}\cdot y^{-\dfrac{1}{\log y}}\cdot z^{-\dfrac{1}{\log z}}\\~\\ &=x^{\log_{x}{(10^{-1})}}\cdot y^{\log_{y}{(10^{-1})}}\cdot z^{\log_{z}{(10^{-1})}}\\~\\ &= 10^{-3} \end{align*}[/latex]
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Resolvido Re: Logaritmo

Mensagem por eduardodudu101 Qui 22 Jul 2021, 09:19

@tales amaral escreveu:Consegui fazer assim  cheers:


[latex]\log(x) + \log(y) + \log(z) = 0 \implies xyz = 1 [/latex]






Seja E a expressão:


[latex]\begin{align*} E &=x^{\dfrac{1}{\log y}+\dfrac{1}{\log z}}\cdot y^{\dfrac{1}{\log x}+\dfrac{1}{\log z}}\cdot z^{\dfrac{1}{\log x}+\dfrac{1}{\log y}}\\~\\ &= x^{\dfrac{1}{\log y}}\cdot x^{\dfrac{1}{\log z}}\cdot y^{\dfrac{1}{\log x}}\cdot y^{\dfrac{1}{\log z}}\cdot z^{\dfrac{1}{\log x}}\cdot z^{\dfrac{1}{\log y}}\\~\\ &=\left(xz \right)^{\dfrac{1}{\log y}}\cdot\left(xy\right)^{\dfrac{1}{\log z}}\cdot (yz)^{\dfrac{1}{\log x}}\\~\\ &=\left(\dfrac{1}{y}\right)^{\dfrac{1}{\log y}}\cdot \left(\dfrac{1}{z}\right)^{\dfrac{1}{\log z}}\cdot \left(\dfrac{1}{x}\right)^{\dfrac{1}{\log x}}\\~\\ &= x^{-\dfrac{1}{\log x}}\cdot y^{-\dfrac{1}{\log y}}\cdot z^{-\dfrac{1}{\log z}}\\~\\ &=x^{\log_{x}{(10^{-1})}}\cdot y^{\log_{y}{(10^{-1})}}\cdot z^{\log_{z}{(10^{-1})}}\\~\\ &= 10^{-3} \end{align*}[/latex]
Ótima resolução Tales. Muito obrigado!
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