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analise combinatória

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Mensagem por nayaradeliberal Qua 21 Jul 2021, 16:32

Um armazém possui certa quantidade de interruptores que controlam o sistema de iluminação de todo o local.
Os interruptores funcionam de forma independente, e cada um deles, ao ser acionado, liga as lâmpadas de um
recinto específico do armazém. Acionando-se pelo menos dois dos interruptores, é possível ligar as lâmpadas dos
recintos do armazém de 120 maneiras diferentes. A quantidade de interruptores que controlam o sistema de
iluminação desse armazém é
a)7.
b) 8.
c) 60.
d) 119.
e)121


RESPOSTA: A
Resolução detalhada, por favor  Very Happy

nayaradeliberal
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Mensagem por Ashitaka Qui 22 Jul 2021, 13:02

A resposta que eu encontrei não bate com as do gabarito. Confira com sua interpretação. Suponha que se tenha os interruptores {I1, I2, I3, ..., In}. O enunciado diz que com dois interruptores é possível ligar as luzes de 120 maneiras diferentes (escolhendo I1/I2, I1/I3, I1/I4, ... etc). Ou seja, há 120 combinações com dois interruptores:
C(n,2) = 120
n = 16.

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Mensagem por eduardodudu101 Qui 22 Jul 2021, 13:48

Há 120 maneiras das lâmpadas serem ligadas acionando-se pelos menos dois interruptores.

Logo:

[latex]\binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n}[/latex]


A expressão acima representa a soma da n-ésima linha do Triângulo de Pascal sem os termos [latex]\binom{n}{0}[/latex] e [latex]\binom{n}{1}[/latex]


[latex]\binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^{n} - 1 - n[/latex]


[latex]2^{n} - 1 - n = 120[/latex]



[latex]2^{n} = 120 + n + 1[/latex]





Testando os valores das alternativas para n,teremos a expressão do lado direito com os valores iguais a 128,129,181,340 e 242

Como n representa o nº de lâmpadas,a única alternativa possível seria a letra a,uma vez que:

[latex]2^{7} = 120 + 7 + 1[/latex]


[latex]2^{7} = 128[/latex]
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Mensagem por Ashitaka Qui 22 Jul 2021, 15:04

@eduardodudu101 escreveu:Há 120 maneiras das lâmpadas serem ligadas acionando-se pelos menos dois interruptores.

Logo:

[latex]\binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n}[/latex]


A expressão acima representa a soma da n-ésima linha do Triângulo de Pascal sem os termos [latex]\binom{n}{0}[/latex] e [latex]\binom{n}{1}[/latex]


[latex]\binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^{n} - 1 - n[/latex]


[latex]2^{n} - 1 - n = 120[/latex]



[latex]2^{n} = 120 + n + 1[/latex]





Testando os valores das alternativas para n,teremos a expressão do lado direito com os valores iguais a 128,129,181,340 e 242

Como n representa o nº de lâmpadas,a única alternativa possível seria a letra a,uma vez que:

[latex]2^{7} = 120 + 7 + 1[/latex]


[latex]2^{7} = 128[/latex]


Muito bom, Eduardo. Essa foi a primeira interpretação que eu tive, mas não cheguei a fazer as contas porque logo mudei para a interpretação de que o 120 se referia a exatos 2 interruptores e que, para mais de 2, haveria mais de 120. Deveria ter prosseguido com as contas e veria que era isso mesmo que ele queria e também proporciona uma interpretação coerente.

Só detalhando para a nayaradeliberal que a origem do 2^n é que a soma da n-ésima linha no triângulo de pascal é 2^n. O -1-n, como o Eduardo bem explicou, deve-se a ausência dos dois primeiros termos C(n,0) = 1 e C(n,1) = n na soma desejada, já que a linha não está completa.

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Mensagem por eduardodudu101 Sex 23 Jul 2021, 01:24

@Ashitaka escreveu:
@eduardodudu101 escreveu:Há 120 maneiras das lâmpadas serem ligadas acionando-se pelos menos dois interruptores.

Logo:

[latex]\binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n}[/latex]


A expressão acima representa a soma da n-ésima linha do Triângulo de Pascal sem os termos [latex]\binom{n}{0}[/latex] e [latex]\binom{n}{1}[/latex]


[latex]\binom{n}{2} + \binom{n}{3} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^{n} - 1 - n[/latex]


[latex]2^{n} - 1 - n = 120[/latex]



[latex]2^{n} = 120 + n + 1[/latex]





Testando os valores das alternativas para n,teremos a expressão do lado direito com os valores iguais a 128,129,181,340 e 242

Como n representa o nº de lâmpadas,a única alternativa possível seria a letra a,uma vez que:

[latex]2^{7} = 120 + 7 + 1[/latex]


[latex]2^{7} = 128[/latex]


Muito bom, Eduardo. Essa foi a primeira interpretação que eu tive, mas não cheguei a fazer as contas porque logo mudei para a interpretação de que o 120 se referia a exatos 2 interruptores e que, para mais de 2, haveria mais de 120. Deveria ter prosseguido com as contas e veria que era isso mesmo que ele queria e também proporciona uma interpretação coerente.

Só detalhando para a nayaradeliberal que a origem do 2^n é que a soma da n-ésima linha no triângulo de pascal é 2^n. O -1-n, como o Eduardo bem explicou, deve-se a ausência dos dois primeiros termos C(n,0) = 1 e C(n,1) = n na soma desejada, já que a linha não está completa.
Obrigado pelo complemento,Ashitaka!
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