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álgebra

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Mensagem por natanlopes_17 Ter 20 Jul 2021, 17:30

Qual é o menor valor que a expressão:

[latex]\sqrt{x^{2}+1} +\sqrt{(y-x)^{2}+25}+\sqrt{(z-y)^{2}+4}+\sqrt{(9-z)^{2}+16}[/latex]

pode assumir sabendo que x,y e z são reais?

gab:15
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Mensagem por qedpetrich Ter 20 Jul 2021, 17:57

Se x = 0, y = 0 e z = 0, o resultado seria 13, um valor menor que o pŕopio gabarito. O gabarito esta coerente?
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Mensagem por tales amaral Ter 20 Jul 2021, 20:51

@qedpetrich escreveu:Se x = 0, y = 0 e z = 0, o resultado seria 13, um valor menor que o pŕopio gabarito. O gabarito esta coerente?
O 9 esta elevado ao quadrado  lol!.

Consegui resolver assim (não tenho ideia de como resolve com álgebra pura):



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Minimizar a soma é minimizar a distância entre A e B (imagina uma linha reta conectando eles):

[latex]\begin{align*} D_{A,B}^2 &= (1+5+2+4)^2+(x+y-x+z-y+9-z)^2\\~\\ D_{A,B}^2 &= 12^2+9^2\\~\\ D_{A,B}^2 &= 144+81\\~\\ D_{A,B}^2 &= 225\\~\\ D_{A,B} &= 15 \end{align}[/latex]
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Mensagem por natanlopes_17 Ter 20 Jul 2021, 21:06

@tales amaral escreveu:
@qedpetrich escreveu:Se x = 0, y = 0 e z = 0, o resultado seria 13, um valor menor que o pŕopio gabarito. O gabarito esta coerente?
O 9 esta elevado ao quadrado  lol!.

Consegui resolver assim (não tenho ideia de como resolve com álgebra pura):



álgebra  Captur12
Minimizar a soma é minimizar a distância entre A e B (imagina uma linha reta conectando eles):

[latex]\begin{align*} D_{A,B}^2 &= (1+5+2+4)^2+(x+y-x+z-y+9-z)^2\\~\\ D_{A,B}^2 &= 12^2+9^2\\~\\ D_{A,B}^2 &= 144+81\\~\\ D_{A,B}^2 &= 225\\~\\ D_{A,B} &= 15 \end{align}[/latex]
Simplesmente genial !
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Mensagem por SilverBladeII Ter 20 Jul 2021, 21:58

@tales amaral escreveu:
@qedpetrich escreveu:Se x = 0, y = 0 e z = 0, o resultado seria 13, um valor menor que o pŕopio gabarito. O gabarito esta coerente?
O 9 esta elevado ao quadrado  lol!.

Consegui resolver assim (não tenho ideia de como resolve com álgebra pura):



álgebra  Captur12
Minimizar a soma é minimizar a distância entre A e B (imagina uma linha reta conectando eles):

[latex]\begin{align*} D_{A,B}^2 &= (1+5+2+4)^2+(x+y-x+z-y+9-z)^2\\~\\ D_{A,B}^2 &= 12^2+9^2\\~\\ D_{A,B}^2 &= 144+81\\~\\ D_{A,B}^2 &= 225\\~\\ D_{A,B} &= 15 \end{align}[/latex]

Da seguinte forma:
sabemos que
[latex]|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}[/latex]
Dessa forma, 
[latex]\begin{align*}\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(y-x)^2+25}+\sqrt{(z-y)^2+4}+\sqrt{(9-z)^2+16}\\=|x+i|+|y-x+5i|+|z-y+2i|+|9-z+4i| \end{align*}[/latex]

Pela desigualdade triangular,
[latex]\begin{align*}|x+i|+|y-x+5i|+|z-y+2i|+|9-z+4i|&\geq |x+y-x+z-y+9-z+12i|\\&=|9+12i|=15 \end{align*}[/latex]
A igualdade ocorre se, e somente se, os numeros complexos em cada módulo forem múltiplos positivos uns dos outros, ou seja, basta garantir que todos sejam multiplos positivos de um unico complexo. 

Vou mostrar um exemplo aqui, para mostrar que é possivel atingir o valor 15:
x=3/4;
y=9/2;
z=6.
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Mensagem por qedpetrich Ter 20 Jul 2021, 22:58

Oh desculpe amigos, realmente o 9 está elevado ao quadrado perdão, ignorem minha mensagem.
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