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COMPLEXOS

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Mensagem por Jvictors021 Ter 20 Jul 2021, 01:21

se z + (1/z) = -1, Então o valor de |Z| é:


GAB: 1
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Mensagem por Elcioschin Ter 20 Jul 2021, 08:48

z = x + y.i

z + 1/z = - 1 --> (x + y.i) + 1/(x + y.i) = - 1 --> (x + y.i)² + 1 = - x - y.i -->

x² + 2.x.y.i + y².i² + 1 = - x + y.i ---> (x² - y² + 1) + (2.x.y).i = - x - y.i

Comparando termo a termo:

2.x.y = - y ---> y.(2.x + 1) = 0 ---> Temos duas possibilidades:

y = 0 ---> x² - y² + 1 = - x --> x² + x + 1 --> não serve: raízes complexas

2.x + 1 = 0 --> x = -1/2 --> x² - y² + 1 = -(-1/2) --> (-1/2)² - y² + 1 = 1/2

1/4 - y² + 1 = 1/2 ---> y² = 1 + 1/4 - 1/2 ---> y² = 3/4 ---> y = ±­ √3/2


z = - 1/2 ±­ √3/2 ---> |z| = (-1/2)² + (±­ √3/2)² ---> |z| = 1
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Mensagem por Jvictors021 Ter 20 Jul 2021, 12:40

@Elcioschin escreveu:z = x + y.i

z + 1/z = - 1 --> (x + y.i) + 1/(x + y.i) = - 1 --> (x + y.i)² + 1 = - x - y.i -->

x² + 2.x.y.i + y².i² + 1 = - x + y.i ---> (x² - y² + 1) + (2.x.y).i = - x - y.i

Comparando termo a termo:

2.x.y = - y ---> y.(2.x + 1) = 0 ---> Temos duas possibilidades:

y = 0 ---> x² - y² + 1 = - x --> x² + x + 1 --> não serve: raízes complexas

2.x + 1 = 0 --> x = -1/2 --> x² - y² + 1 = -(-1/2) --> (-1/2)² - y² + 1 = 1/2

1/4 - y² + 1 = 1/2 ---> y² = 1 + 1/4 - 1/2 ---> y² = 3/4 ---> y = ±­ √3/2


z = - 1/2 ±­ √3/2 ---> |z| = (-1/2)² + (±­ √3/2)² ---> |z| = 1






Olá Elcio, poderia me explicar o motivo pelo qual elevou (x + y.i) ao quadrado ???
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Mensagem por Elcioschin Ter 20 Jul 2021, 12:44

Eu multipliquei, na 2ª linha, toda a equação por (x + y.i)
Com isto a 1ª parcela, no 1º membro, vai ser (x + y.i)²
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Mensagem por Jvictors021 Ter 20 Jul 2021, 14:09

@Elcioschin escreveu:Eu multipliquei, na 2ª linha, toda a equação por (x + y.i)
Com isto a 1ª parcela, no 1º membro, vai ser (x + y.i)²

Fiz da seguinte maneira:

Passei para o outro lado multiplicando, mas repare que dessa forma eu não chegaria em uma equação do segundo grau, então essa manobra esta algebricamente errada ???


(x + y.i) + 1/(x + y.i) = - 1 --> (x + y.i) + 1 = - (x + y.i) 
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Mensagem por Carolzita Lisboa Qua 21 Jul 2021, 09:28

Se garantem!

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