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Mensagem por carlos jorge santo Qua 14 Jul 2021, 08:51

Se x,y e z são números inteiros positivos , 2z+14y-x^2 = -199 e  x^2-18x+17< 0 , então z+14y – x é igual

carlos jorge santo
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auxílio na resolução Empty Re: auxílio na resolução

Mensagem por tales amaral Qua 14 Jul 2021, 09:53

Deve ter um jeito mais fácil. Eu consegui fazer assim lol!




[latex]\begin{align*} x^2-18x+17& < 0 \\~\\ (x-1)(x-17) & < 0\\~\\ 1 < x & < 17 \end{align*}[/latex]


Utilizando [latex]k = z+14y - x[/latex]:


[latex]\begin{align*} 2z+14y-x^2 &= -199 \\~\\ z+z+14y-x-x(x-1) &= -199 \\~\\ x(x+1)-z-199&=k \\~\\\end{align*}[/latex]



Observe que x é impar , visto que a expressão 2z+14y é par e ao ser subtraído de x^2, resulta em um número ímpar. Observe  também que o maior valor possível para x é 15 (maior impar menor que 17). 


Observe que em um caso extremo, onde y e z são iguais a 1 e x possui seu valor máximo, o valor de k iguala a 0. Podemos concluir que k é positivo. Voltando em nossa expressão:


[latex]\begin{align*} k &= x(x+1)-z-199\\~\\\end{align*}[/latex]



Supondo x = 14:


[latex]\begin{align*} k &= 14\cdot (14-1)-z-199\\~\\ & = 182 - z-199 \\~\\ &=-z-17\end{align*}[/latex]



É menor que 0 sempre, logo x deve ser maior que 14. Como o único valor maior que 14 que x admite é o 15, x deve ser igual a 15. Substituindo:


[latex]\begin{align*}  2z+14y-x^2 &= -199 \\~\\ 2z+14y-225 &= -199 \\~\\ 2z+14y = 26 \\~\\ z+7y = 13\end{align*}[/latex]




Só tem uma solução inteira positiva que é y =1 e z = 6. Substituindo:


[latex]\begin{align*} k &= 15\cdot (15-1)-z-199\\~\\ & = 210 - z-199 \\~\\ &=11-z \\~\\ &= 11-6 \\~\\ &=5\end{align*}[/latex]
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Mensagem por Elcioschin Qua 14 Jul 2021, 11:00

carlos jorge santo

Você não está respeitando as Regras do fórum

Regra VII ---> título indevido
Regra XI ---> enunciado incompleto: faltaram as alternativas (e eventualmente o gabarito, se vc souber)
Além disso vc postou a mesma questão duas vezes, a qual foi bloqueada.

Por favor, leia/siga todas as Regras, nas próximas postagens.
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Mensagem por NASPORTIHZX666 Qui 22 Jul 2021, 19:18

Olá!
x² -18x +17<0 -> (x -17)(x-1) < 0
Esboçando o gráfico da parábola, se descobre que os valores possíveis de x estão entre o intervalo 1< x < 17

Agora, vamos analisar a seguinte equação:
2z + 14y - x² = -199 (II)
2z + 14y = -199 + x² (III)

Note que x,y e z são valores inteiros e positivos. Chamaremos isso de "postulado 1"
 
Pois bem, então a soma de 2z e 14y obrigatoriamente resultará em um número inteiro e positivo também. Assim, os únicos valores de x possíveis, no intervalo 1 < x < 17, de acordo com o postulado 1, são x = 15 e x =16.

Porém, note que tanto x como y sao multiplicados pelo fator 2 na equação (II) (14y = 7.2.y). Assim, a soma de 2x com 14y resultará em um número inteiro positivo e PAR. Chamaremos isso de postulado 2.
Para x = 15, (15)² - 199 = 26
Para x = 16, (16)² - 199 = 57

Entao, o único valor possível, considerando o postulado 1 e 2, é 15.

Temos, então:
2z + 14y = 26
Bom, sendo z e y dois inteiros positivos temos que:
2z < 26
14y < 26
Ou seja, NENHUM dos fatores pode exceder 26, seja 2z ou 14y.
O único valor para y que atende essa condição é y = 1.

Substituindo x e y em III, temos que z = 6

Assim:
Z + 14y - x = 6 + 14 - 15 = 20 - 15 = 5

Caso você seja de Curitiba, eu dou aulas particulares de matemática. Segue meu whats para contato: +5541997377390.
Falo isso pq essa questão caiu na prova da PUC pr no vestibular de medicina, hehe

Valeu!

NASPORTIHZX666
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