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Limite sem L'Hopital

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Mensagem por vibrufe Seg 12 Jul 2021, 10:40

gostaria de saber como resolver o limite abaixo sem o uso de L'Hôpital.

[latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{sen(x)}-1}{x}[/latex]

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Limite sem L'Hopital Empty Re: Limite sem L'Hopital

Mensagem por SilverBladeII Ter 13 Jul 2021, 01:13

primeiro, calculemos 
[latex]\lim_{x\to0^+}\frac{e^{\sin x}-1}{x}.[/latex]

nesse caso, x>0.
Sabemos que [latex]e^x\geq 1+x[/latex], então
[latex]\frac{e^{\sin x}-1}{x} \geq \frac{1+x-1}{x}=1[/latex].

Além disso sabemos que para todo x positivo suficientemente pequeno, sen(x) < x, de maneira que
[latex]\frac{e^{\sin x}-1}{x} < \frac{e^x-1}{x}[/latex]

Ora, [latex]x\to 0^+[/latex] então [latex]e^{x}-1\to 0^+[/latex]

Assim, seja [latex]u=e^{x}-1 \implies x=\ln(u+1)[/latex]

[latex]\begin{align*}\lim_{x\to0^+}\frac{e^{x}-1}{x}&=\lim_{u\to0^+}\frac{u}{\ln(1+u)} \\ &=\lim_{u\to 0^+} \frac{1}{\ln(1+u)^{1/u}}\end{align*}[/latex]

Ambas as funções 1/x e ln(x) são continuas nos positivos, então

[latex]\lim_{u\to 0^+} \frac{1}{\ln(1+u)^{1/u}}=\frac{1}{\ln e}=1[/latex].

Mas então, para todo x suficientemente pequeno,

[latex]\frac{e^{x}-1}{x} > \frac{e^{\sin x}-1}{x} > 1[/latex]
e
então, pelo teorema do confronto, o limite pela direita é 1.

Para calcular o limite pela esquerda, basta tomar [latex]t=-x[/latex]:
[latex]\lim_{x\to0^-}\frac{e^{\sin x}-1}{x}=\lim_{t\to0^+}\frac{e^{\sin -t}-1}{-t}\overset{*}{=}\lim_{t\to0^+}\frac{1}{e^{t}}\cdot\frac{e^{\sin t}-1}{t}=1[/latex]
onde em * usamos o resultados descoberto anteriormente
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Limite sem L'Hopital Empty Re: Limite sem L'Hopital

Mensagem por vibrufe Ter 13 Jul 2021, 08:27

Muito Obrigado SilverBladeII.

Sua ajuda foi de suma importância.

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Mensagem por Carolzita Lisboa Ter 20 Jul 2021, 19:38

Se garante!

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