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Matemática

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Mensagem por 1João2Pereira3 Seg 12 Jul 2021, 07:59

olá, poderia me ajudar com esta questão?
Calcule a, b e c, números reais, na equação ax^4 + bx^2 + c = 0 sabendo que duas de suas raízes são √7 e 3.

1João2Pereira3
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Mensagem por Elcioschin Seg 12 Jul 2021, 10:52

Sejam r =  7 e s = 2 

t = - √7 e u = - 2 também são raízes

a.x⁴ + 0.x³ + b.x² + 0.x + c = 0 

Relações de Girard


r + s + t + u = - 0/a


r.s + r.t + r.u + s.t + s.u + t.u = b/a

r.s.t + r.s.u + r.t.u + s.t.u = - 0/a

r.s.t.u = -c/a

Resolva o sistema 
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Mensagem por Renan Almeida Seg 12 Jul 2021, 11:03

Toma-se y = x²

A seguinte equação terá duas raízes y' e y'':
ay² + by + c = 0

Sendo assim, as raízes de ax4 + bx2 + c são (√y'), (-√y'), (√y'') e (-√y'')
Ou seja, √7, -√7, 3 e -3.

Portanto,
ax4 + bx2 + c = (x+√7)(x-√7)(x+3)(x-3)
ax4 + bx2 + c = (x² - 7)(x² - 9)
ax4 + bx2 + c = x4 -16x² + 63

a = 1
b = -16
c = 63

Para ser mais específico, há infinitas funções que possuem essas raízes, portanto pode-se representar os coeficientes como:
a = n
b = -16n
c = 63n
∀ n ≠ 0 e n ∈ ℝ
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Mensagem por Renan Almeida Seg 12 Jul 2021, 11:09

@Renan Almeida escreveu:Portanto,
ax4 + bx2 + c = (x+√7)(x-√7)(x+3)(x-3)
ax4 + bx2 + c = (x² - 7)(x² - 9)
ax4 + bx2 + c = x4 -16x² + 63
Aqui, eu poderia simplesmente ter colocado o n antes do produto: n(x+√7)(x-√7)(x+3)(x-3)
Assim, os valores de a,b e c já ficarão em função de n.

ax4 + bx2 + c = n(x+√7)(x-√7)(x+3)(x-3)
ax4 + bx2 + c = n(x² - 7)(x² - 9)
ax4 + bx2 + c = nx4 -16nx2 + 63n
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