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Trigonometria

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Resolvido Trigonometria

Mensagem por eduardodudu101 Seg 12 Jul 2021, 02:10

Sabe-se que Trigonometria Png e sabe-se também que Trigonometria Png ,onde m e n são inteiros positivos relativamente primos. Então o valor de m+n é:

a)120
b)121
c)122
d)123
e)124

Gabarito:
C


Última edição por eduardodudu101 em Seg 12 Jul 2021, 23:37, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Trigonometria

Mensagem por Renan Almeida Seg 12 Jul 2021, 11:44

7cos2θ -24sen2θ = m/n

Sabe-se que (cos2θ = cos²θ - sen²θ) e (sen2θ = 2senθcosθ)

7(cos²θ - sen²θ) - 24*2senθcosθ = m/n
7cos²θ - 48senθcosθ - 7sen²θ = m/n -------- (I)

4cosθ - 3senθ = 13/3
(4cosθ - 3senθ = 13/3)²
16cos²θ - 24senθcosθ + 9sen²θ = 169/9 (*2)
32cos²θ - 48senθcosθ + 18sen²θ = 338/9 ------ (II)

Agora vamos subtrair as equações I e II:

32cos²θ - 48senθcosθ + 18sen²θ = 338/9
-(7cos²θ - 48senθcosθ - 7sen²θ = m/n)
--------------------------------------------------
25cos²θ + 25sen²θ = 338/9 - m/n
25(sen²θ + cos²θ) = 338/9 - m/n

Sabe-se que sen²θ + cos²θ = 1 pela relação fundamental da trigonometria
25 = 338/9 - m/n
m/n = 113/9

113 é primo e 9 pode ser fatorado como 3², o que significa que os dois não possuem fatores em comum e portanto são relativamente primos entre si.
m + n = 122 (C)
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Resolvido Re: Trigonometria

Mensagem por eduardodudu101 Seg 12 Jul 2021, 23:36

Muito Obrigado Renan. Ótima resolução!
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Resolvido Re: Trigonometria

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