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Ponto e Reta

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Mensagem por Pedro Flávio Sex 09 Jul 2021, 10:57

(UF-MT) No gráfico abaixo, o ponto A tem coordenada (3, 0), os pontos B e C estão, respectivamente, sobre a reta y=2 e y=4 e o ponto A pertence à reta que passa por B e C.

Ponto e Reta Abciss10

A partir dessas informações, pode-se afirmar que as coordenadas dos pontos B e C, tais que a soma dos quadrados das medidas dos segmentos OB e BC seja mínima, são, respectivamente: 
a) (-3/2, 2) e (-1, 4)
b) (2/3, 2) e (0, 4) 
c)  (3/2, 2)e (0, 4) 
d) (2, 2) e (1, 4)
e) (1, 2) e (-1, 4) 



Gab: C


Podem me ajudar com a  resolução dessa questão ? 
Obrigado!
lol!
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Mensagem por SilverBladeII Sab 10 Jul 2021, 00:01

OB é mediana de OAC em relação a AC. Então é resultado conhecido que
4OB²=2(OA²+OC²)-AC².
Mas AC²=4BC². Portanto
OB²+BC²=(OA²+OC²)/2
Ora, OA é constante, então OB²+BC² terá o menor valor quando OC² tiver o menor valor possivel, e isso ocorrerá quando OC for perpendicular à y=4, ou seja, C=(0, 4). Terminaê
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Mensagem por Pedro Flávio Seg 12 Jul 2021, 08:52

@SilverBladeII escreveu:OB é mediana de OAC em relação a AC. Então é resultado conhecido que
4OB²=2(OA²+OC²)-AC².
Mas AC²=4BC². Portanto
OB²+BC²=(OA²+OC²)/2
Ora, OA é constante, então OB²+BC² terá o menor valor quando OC² tiver o menor valor possivel, e isso ocorrerá quando OC for perpendicular à y=4, ou seja, C=(0, 4). Terminaê
Muito obrigado por responder, amigo. Mas, não entendi algumas coisas... por que OB é mediana? E esta equação 4OB²=2(OA²+OC²)-AC² , como você chegou até ela? É alguma relação conhecida? Não consegui identificar.
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Mensagem por SilverBladeII Seg 12 Jul 2021, 13:03

aplica o teorema de tales. A distancia entre as retas paralelas é a mesma, então B vai ser ponto médio de AC.
Esse resultado sobre a mediana, que é conhecido, vem de um resultado mais geral, conhecido como "teorema da cevaiana qualquer", ou ainda "teorema de stewart"
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