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Área do triângulo e cevianas

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Resolvido Área do triângulo e cevianas

Mensagem por Oliveirasmat23 Qui 01 Jul 2021, 13:08

Num triângulo retângulo ABC, reto em A, seja M o ponto médio da hipotenusa BC e N um ponto do lado AC tal que BN é a bissetriz do ângulo B. Se P é o ponto de intersecção da mediana AM com a bissetriz BN, AB=3 m e AC=4 m, então a área do triângulo BPM é:

a) 3 m²
b) 3,5 m²
c) 8/7 m²
d) 9/7 m²
e) 15/11 m²

Gabarito: e) 15/11 m²


Última edição por Oliveirasmat23 em Qui 01 Jul 2021, 14:35, editado 1 vez(es)

Oliveirasmat23
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Resolvido Re: Área do triângulo e cevianas

Mensagem por Renan Almeida Qui 01 Jul 2021, 13:39

Como AM é mediana, os triângulos ABM e ACM possuem a mesma área, que é metade da área total.
A(ABC) = 3*4/2 = 6
A(ABM) = 3 m²
A(ACM) = 3 m²

Sabe-se que sen(2α) = senB = 4/5 e cos2α = cosB = 3/5 então:
senα = √[(1-cos2α)/2]
senα = √[(1-3/5)/2]
senα = √5/5

A soma das área dos triângulos ABP e BPM é igual a área do triângulo ABM.
A(ABP) = (3*(BP)*senα)/2
A(BPM) = (2,5*(BP)*senα)/2

(2,5*(BP)*senα)/2 + (3*(BP)*senα)/2 = 3
(5,5*BP*√5/5)/2 = 3
BP = (12√5)/11 m

A(BPM) = (2,5*(BP)*senα)/2
A(BPM) = (2,5*(12√5/11)*√5/5)/2
A(BPM) = 15/11 m² (E).
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