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ARCOS COMPLEMENTARES - QUESTÃO QOAM - 2020

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Mensagem por rogermarinha Qua 30 Jun 2021, 16:39

Se a e b são arcos complementares da primeira volta positiva, e [latex]\frac{\sin a+\sin b}{\sin a - \sin b} =\sqrt 3[/latex]

o valor de [latex]\sin \frac{3a}{5}+\cos 3b[/latex] :


A) raiz quadrada de 5
B) raiz quadrada de 3
c) raiz quadrada de 2
D)1
E)0
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Mensagem por Gustavorab Qui 08 Jul 2021, 21:08

Sabendo que para todo os angulos ditos complementares:
Sin a = Cos b e Sin b = Cos a

Então 
[latex]\frac{\sin a +\sin b}{\sin a - \sin b}=\sqrt{3}[/latex]


[latex]\frac{\sin a +\cos a}{\sin a - \cos a}=\sqrt{3}[/latex]
multiplicando e elevando ambos os lados ao quadrado temos que:

[latex]\left ( \sin a + \cos a \right )^{2}= \left ( \left ( \sin a - \cos a \right )\sqrt{3} \right )^{2}[/latex]


[latex]\sin ^{2}a + 2.\sin a.\cos a + \cos ^{2}a = 3. \left ( \sin ^{2}a - 2.\sin a.\cos a + \cos ^{2}a \right ) [/latex]


[latex]1 + 2.\sin a.\cos a = 3 - 6.\sin a.\cos a[/latex]

[latex]8.\sin a.\cos a = 2 [/latex]

e sabemos que 2.sin a. cos a = sen(2a)
[latex]\sin 2a = \frac{1}{2}[/latex]
[latex]a'= 15^{\circ}[/latex]
[latex]a''= 75^{\circ}[/latex]
Voltando a Sin a = Cos b descobrimos que b' = [latex]165^{\circ}[/latex] e b'' = [latex]105^{\circ}[/latex]

Então para a'' e b''
[latex]\sin \frac{3a}{5} + \cos 3b = \sin 45^{\circ} + \cos 315^{\circ}[/latex] = [latex]\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}[/latex]
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