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PUC/PR-2018 - Razão entre massa de sal e de água

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Mensagem por jopagliarin Seg 28 Jun 2021, 10:32

Um recipiente R1 estava completamente cheio de uma mistura líquida homogênea, constituída apenas por água e sal, quando seis esferas de vidro idênticas foram lentamente mergulhadas nesse recipiente. Em seguida, essas seis esferas foram cuidadosamente substituídas por apenas uma, outra esfera de vidro, cujo raio tinha o dobro da medida do raio de cada uma das anteriores. A totalidade da mistura que foi inicialmente deslocada pelas seis primeiras esferas foi armazenada em um recipiente R2 e, em seguida, toda a massa de mistura que trasbordou devido à substituição das esferas foi armazenada em um recipiente R3 . Nas duas situações descritas todas as esferas haviam ficado totalmente submersas, os recipientes R2 e R3 estavam inicialmente vazios e no final das etapas a soma das massas contidas nos três recipientes era exatamente igual à quantidade inicial contida em R1 (não houve perdas e nada foi acrescentado). Suponha agora que o recipiente R2 tenha sido aquecido até toda a água nele contida evaporar e que todo o sal assim obtido tenha sido acrescentado à mistura contida em R3 Se k indica a razão entre as massas de sal e de água da mistura inicial que havia no recipiente R1 , então, na mistura final armazenada em R3 a razão entre as massas de sal e água passou a ser igual a: 
A) k. B) 1,75k. C) 2k. D) 4k. E) 8k
Gabarito:
D:

Olá, irei postar a minha resolução aqui, para que alguém possa me apontar onde errei. 

Primeiramente, pensei que como as esferas são do mesmo material, tem a mesma densidade 
*d1: densidade das 6 esferas menores; d2: densidade da esfera maior
então d1 = d2 
m1/(4/3)pir³ = m2/(4/3).8r³ => 8m1 = m2
Isso significa que a massa se solução (água+sal) que caiu no recipiente 3 (R3) é 8 vezes maior que a solução no recipiente 2 (R2)
Então, antes de evaporar a água do R2, VR3 = 8VR2

Ainda, como dito no enunciado, o recipiente 1 (R1) teve toda a sua solução destinada parte para o R2 e parte para o R3. Então
VR1 = VR2 + VR3 => VR1 = 9VR2 

Com a água evaporando do R2, o novo volume será VR2' e corresponderá, exatamente, a massa de sal no recipiente 2. Posteriormente, essa massa de sal vai para o recipiente 3.

Então, o novo volume de R3 será VR3' 
VR3' = VR3 + VR2'

Ainda, como o sal permaneceu, podemos falar que VR1(sal) = VR3'(sal)
Agora só falta determinar o VR3'(água), que é igual ao VR3 de água. 
VR1(água) = VR2(água ) + VR3(água)
VR1(água) = VR2(água) + VR3'(água)
Como já dito que VR3 = 8VR2, pode-se inferir que VR3(água) = 8VR2(água) =  VR3'(água) = 8VR2(água) 

VR1(água) = (1/8)VR3'(água) + VR3'(água)
VR1(água) = (9/8)VR3'(água)

K = VR1(sal) / VR1(água)
K' = VR3'(sal) / VR3' (água)
K' = VR1(sal) / (8/9)VR1(água)
K/K' = 8/9
K'= (9/8)K
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Mensagem por Osten Seg 28 Jun 2021, 12:40

Olha como eu fiz:
[latex]x_{2}[/latex]=massa de sal em R2
[latex]x_{3}[/latex]=massa de sal em R3
x= massa total do sal
Vi= volume inicial

x/Vi=k

O volume que transborda do R1 pela adição das seis esferas, é o próprio volume das seis esferas, que vai ser o volume de R2.
Volume de uma esfera= 4πr3/3
Como são 6, então o volume de R2 será 8πr3

Agora para saber o volume de R3 precisamos saber o volume da segunda esfera, que possui o dobro do raio da primeira
Volume da segunda esfera:4π[latex](2r)^{3}[/latex]/3 =32πr3/3
Para saber o volume de R3 é só pegar esse volume e diminuir pelo segundo:

32πr3/3 - 8πr3= 8πr3/3

Como são proporções, então pode fazer um proporção de R1 com R2

8πr3/Vi=PUC/PR-2018 - Razão entre massa de sal e de água Png/x
PUC/PR-2018 - Razão entre massa de sal e de água Png=8xπr3/Vi

Agora, vamos fazer o mesmo com R3 e R1 e vamos encontrar:

PUC/PR-2018 - Razão entre massa de sal e de água Png=8xπr3/3Vi

Somando os duas massas que colocaram em R3 
PUC/PR-2018 - Razão entre massa de sal e de água Png+PUC/PR-2018 - Razão entre massa de sal e de água Png=32xπr3/3Vi

Com esse valor conseguimos a massa de R3, portando podemos fazer sua razão da massa de R3 sobre seu volume(8πr3/3)

R3=  [latex]\frac{32x\pi r^{3}.3}{3Vi.8\pi r^{3}}[/latex]

R3=[latex]\frac{4x}{Vi}[/latex]
R3=4k
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Mensagem por jopagliarin Ter 29 Jun 2021, 06:42

obrigada!
então está errado eu fazer aquela relação com a densidade
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Mensagem por Carolzita Lisboa Ter 29 Jun 2021, 21:17

Se garantem!

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