Torneio das Cidades-94

Um estudante esqueceu de escrever um sinal de multiplicação entre dois números naturais de 3 algarismos e escreveu esses dois números juntos, como se fosse um número de 6 algarismos. Esse número de 6 algarismos é 3 vezes maior do que o produto obtido pela multiplicação dos dois números originais. Ache esses números.



Resposta: 167 e 334

Um possível caminho, sendo ABC e DEF os dois números

ABCDEF = 3.ABC.DEF ---> 1 000.ABC + DEF = 3.ABC.DEF --->

Dividindo por ABC:

1 000 + DEF/ABC = 3.DEF ---> DEF.(3 - 1/ABC) = 1 000

Já temos uma fatoração com resultado 1 000

3*abc*def=abcdef
3*abc*def=10³*abc+def
def*(3abc-1)=10³*abc
3*def*(3*abc-1)=3*10³*abc-10³+10³
3*def*(3*abc-1)-10³*(3*abc-1)=10³
(3*def-10³)*(3*abc-1)=10³=2³*5³
e temos uma fatoração de inteiros.
A primeira coisa a perceber é que tanto (3*abc-1) como (3*def-10³) deixam resto 2 na divisão por 3. A segunda é que como abc≥100, então  (3*abc-1)≥299 

Então as únicas possibilidades para os dois fatores, em alguma ordem, são
(2)*(5³2²)=2*500
(2³)*(5³)=8*125 -> (eliminados. ambos menores que 299)
(5)*(5²*2³)=5*200 -> (eliminados. ambos menores que 299)
(5*2²)*(5²*2)=20*50  -> (eliminados. ambos menores que 299)

3*abc-1=500 e 3*def-10³=2, que implica abc=167 e def=334

Se garante!