Gráfico da função logarítmica

por GuilhermeRM Dom 09 Out 2011, 14:12

Olá, na construção de um gráfico da função:

f(x) = 2logx

O domínio difere dda função: logx².

Eu compreendo a diferença pois temos a possibilidade do domínio ser negativo, na segunda. Entretanto, no cáclulo da equação:

log² de x na base 4 -2log de x na base 4 -3 = 0

Não posso passar o 2 que está multiplicando o log de x na base 4, para a potência de x? Porque funciona esse deslocamento na equação e na função não? Quer dizer, se 2log de x = log de x², porque a função torna-se outra...? Abraços

l

por **Euclides** Dom 09 Out 2011, 17:00

Bem, a melhor solução para a equação dada é

$\\\log^2_4x-2\log_4x-3=0,\;\;\;\;\;\;\;\log_4x=y\\\\y^2-2y-3=0\;\;\;\to\;\;\begin{cases}\log_4x=-1\;\;\to\;\;x=\frac{1}{4}\\\log_4x=3\;\;\to\;\;x=4^3 \end{cases}$

Na solução de uma questão, se necessário você pode operar $2\log x=\log x^2$ , ou vice-versa, tendo a consciência de que está alterando o domínio da função. Ao obter um resultado ele terá de ser confrontado com a condição de existência e testado na equação original.

por GuilhermeRM Dom 09 Out 2011, 23:41

Muito obrigado por me ajudar Euclides, mas tenho uma dúvida: Se estabeço o domínio como sendo os Reais, obrigatoriamente tenho que excluir os valores negativos de x, mesmo tornando o dois a potencia de x² porque existe na equação o log² de x na base 4? Quer dizer, se retiro o log² de x na base 4, a partir do momento que elevo o dois do 2log de x na base 4, eu admito valores negativos para x, entretanto, se deixar o 2log de x na base 4 como está, não posso considerar resultados de x negativos?

Obs: Deve ser horrível pra ler, mas eu não consegui mexer no Latex =/

por **Euclides** Seg 10 Out 2011, 00:50

Se você tem algo como:

$2\log_a x-k=0 ,\;\;\;\;\;\;k\in \Re,\;\;\;a>0$

condição de existência $x>0$

se usar a propriedade poderá obter um resultado que não irá satisfazer a condição de existência:

$\\2\log_a x=k\;\;\to\;\;x=a^{\frac{k}{2}}\\\\\text{usando a propriedade:}\\\\log_ax^2=k\;\;\to\;\;x=\sqrt{a^k}\to x=\begin{cases} +a^{\frac{k}{2}}\;\to ok\\-a^{\frac{k}{2}}\to not\;ok\end{cases}$

Se temos

$\\f(x)=2\log x\;\;e\;\;g(x)=\log x^2\\\\f(x)\neq g(x),\;\;\;f(x)=g(x>0)$