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Trigonometria - Simulado

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Resolvido Trigonometria - Simulado

Mensagem por eduardodudu101 Dom 20 Jun 2021, 00:07

Para [latex]x \neq 2k\pi,k\in \mathbb{Z}[/latex],determine o valor de:

[latex]\sum_{k=1}^{100}cos (kx)[/latex]


a)[latex]\frac{1}{2}\left [ \frac{sen(\frac{201x}{2})}{sen(\frac{x}{2})} - 1 \right ][/latex]


b)[latex]\frac{1}{2}\left [ \frac{sen(\frac{201x}{2})}{sen(\frac{x}{2})}\right ][/latex]


c)[latex]\frac{1}{2}[/latex]


d)[latex]1[/latex]

e)[latex]\frac{1}{2}\left [ \frac{cos(\frac{201x}{2})}{cos(\frac{x}{2})} - 1\right ][/latex]


Não possuo o gabarito.


Última edição por eduardodudu101 em Ter 29 Jun 2021, 22:12, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Trigonometria - Simulado

Mensagem por Kayo Emanuel Salvino Dom 20 Jun 2021, 06:25

E aí.

Sol.: https://www.youtube.com/watch?v=fc0Icq-GW3c&ab_channel=NumberX
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Resolvido Re: Trigonometria - Simulado

Mensagem por eduardodudu101 Seg 21 Jun 2021, 02:26

@Kayo Emanuel Salvino escreveu:E aí.

Sol.: https://www.youtube.com/watch?v=fc0Icq-GW3c&ab_channel=NumberX
Obrigado. Havia feito por esse método anteriormente e caí na seguinte expressão:

[latex]\frac{cos(\frac{101x}{2})sen(50x)}{sen(\frac{x}{2})}[/latex]
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Resolvido Re: Trigonometria - Simulado

Mensagem por Kayo Emanuel Salvino Seg 21 Jun 2021, 06:29

Nota que tu tem um produto e nas alternativas tá uma diferença entre os termos.

Daí, cos(101x/2) = sen(101x/2 - 90º) -->  sen(101x/2 - 90º)*sen(50x) -->

1/2( cos(101x/2 + 50x - 90º ) - cos( 101x/2 - 50x - 90º ) -->

1/2 ( sen(201x/2) - sen( x/2) ) , quando divide isso por sen x/2 , tu tem
 alternativa  A. Beleza ?

Creio que seja isso aí.
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Resolvido Re: Trigonometria - Simulado

Mensagem por eduardodudu101 Qua 23 Jun 2021, 00:38

@Kayo Emanuel Salvino escreveu:Nota que tu tem um produto e nas alternativas tá uma diferença entre os termos.

Daí, cos(101x/2) = sen(101x/2 - 90º) -->  sen(101x/2 - 90º)*sen(50x) -->

1/2( cos(101x/2 + 50x - 90º ) - cos( 101x/2 - 50x - 90º ) -->

1/2 ( sen(201x/2) - sen( x/2) ) , quando divide isso por sen x/2 , tu tem
 alternativa  A. Beleza ?

Creio que seja isso aí.
Excelente! Já visualizei o meu erro.

Vou postar aqui a minha resolução.

[latex]C = cos(x) + cos(2x) + cos(3x) + \cdots + cos(100x) [/latex]


[latex]iS = i[sen(x) + sen(2x) + sen(3x) + \cdots + sen(100x)] [/latex]


Somando as duas expressões:

[latex]C + iS = cis(x) + cis(2x) + cis(3x) + \cdots + cis(100x) [/latex]

Logo,tem-se uma P.G com razão q = cis(x)

[latex]S = \frac{cis(x)[cis^{100}(x) - 1]}{cis(x) - 1}[/latex]


[latex]S = \frac{cis(x)[cis(100x) - 1]}{cis(x) - 1}[/latex]



[latex]S = \frac{cis(x)cis(50x)[cis(50x) - cis(-50x)]}{cis(\frac{x}{2})[cis(\frac{x}{2}) - cis(\frac{-x}{2})]}[/latex]


Sendo [latex]cis(\theta) - cis(-\theta) = cos(\theta) + isen(\theta) - cos(theta) + isen(\theta)[/latex]


Logo [latex]cis(\theta) - cis(-\theta) = 2isen(\theta)[/latex]


[latex]S = \frac{cis(x)cis(50x)2isen(50x)}{cis(\frac{x}{2})2isen(\frac{x}{2})}[/latex]


[latex]S = \frac{cis(x + 50x - \frac{x}{2})sen(50x)}{sen(\frac{x}{2})}[/latex]



[latex]S = \frac{cis(\frac{101x}{2})sen(50x)}{sen(\frac{x}{2})}[/latex]


Para a soma dos cossenos,tem-se:

[latex]S_{C} = \frac{cos(\frac{101x}{2})sen(50x)}{sen(\frac{x}{2})}[/latex]


Convertendo o produto do denominador em soma(Prostaférese):

[latex]\begin{cases} p+q = 100x & \\ p-q = 101x & \end{cases}[/latex]

[latex]p = \frac{201x}{2} [/latex] e  [latex]q = \frac{-x}{2}[/latex]

Como seno é uma função ímpar, [latex]sen(\frac{-x}{2}) = -sen(\frac{x}{2})[/latex]


[latex]\sum_{k=1}^{100} = \frac{1}{2}[\frac{sen(\frac{201x}{2}) - sen(\frac{x}{2})}{sen(\frac{x}{2})}][/latex]


[latex]\sum_{k=1}^{100} = \frac{1}{2}[\frac{sen(\frac{201x}{2})}{sen\frac{x}{2}} - 1][/latex]
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Resolvido Re: Trigonometria - Simulado

Mensagem por Kayo Emanuel Salvino Qua 23 Jun 2021, 07:45

Pronto, ótimo!! Decore  essas somas aí hein ( pra não gastar tempo)
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Resolvido Re: Trigonometria - Simulado

Mensagem por eduardodudu101 Sex 25 Jun 2021, 02:11

@Kayo Emanuel Salvino escreveu:Pronto, ótimo!! Decore  essas somas aí hein ( pra não gastar tempo)
Tranquilo! Só coloquei passo a passo para ficar ficar uma resolução mais didática para quem estiver em dúvida.
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Resolvido Re: Trigonometria - Simulado

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