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Cálculo 1.

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Resolvido Cálculo 1.

Mensagem por guilherme.mendonca5088 Sab 19 Jun 2021, 20:27

Prove que dados a,b>0 então ln(ab)=ln(a)+ln(b). Para isso, considere as funções f(x)= ln(ax) e g(x)= ln(a)+ln(x), com x>0. Alguma sugestão para esse exercício? Pensei em usar TVM.

guilherme.mendonca5088
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Resolvido Re: Cálculo 1.

Mensagem por Elcioschin Sab 19 Jun 2021, 22:25

ln(a.b) = k ---> a.b = ek ---> I

ln(a) = m ---> a = em ---> II

ln(b) = n ---> b = en ---> III

II e III em I ---> a.b = ek ---> (em).(en) = ek ---> ek = em + n --->

k = m + n ---> ln(a.b) = ln(a) + ln(b)
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Resolvido Re: Cálculo 1.

Mensagem por SilverBladeII Sab 19 Jun 2021, 22:38

Para todo y>0, temos que 
f(x)=ln(xy) então
f'(x)=(ln(xy))'=ln'(xy)*(xy)'=(1/xy)*y=1/x.
integrando dos dois lados, obtemos 
f(x)=ln(x)+c, para alguma constante c.

Ora, por um lado f(1)=ln(1*y)=ln(y),
por outro, f(1)=ln(1)+c=c.
Portanto, f(1)=c=ln(y), de modo que ln(xy)=ln(x)+ln(y). Como esse resultado depende somente de y>0, temos que ln(ab)=ln(a)+ln(b) pra todos a, b reais positivos.
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Resolvido Re: Cálculo 1.

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