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Bases de numeração

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Resolvido Bases de numeração

Mensagem por carbonodourado12 Sab 19 Jun 2021, 20:20

Boa noite, estou com dificuldades para resolver esta questão:

Represente (x^n) - 1 na base x.


Última edição por carbonodourado12 em Seg 21 Jun 2021, 22:16, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Bases de numeração

Mensagem por Medeiros Sab 19 Jun 2021, 21:02

@carbonodourado12 escreveu:Represente (x^n) - 1 na base x.
isto é do Ensino Fundamental?

[latex]\left(x^{n}-1 \right )_{base\,\,x} = x^{0}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+......+x^{n-1}=\sum_{i=0}^{n}\frac{x^{i+1}-1}{x-1}\,\,\,,\,\,\,\text{para }x>1 [/latex]
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Resolvido Re: Bases de numeração

Mensagem por carbonodourado12 Sab 19 Jun 2021, 21:34

@Medeiros escreveu:
@carbonodourado12 escreveu:Represente (x^n) - 1 na base x.
isto é do Ensino Fundamental?

[latex]\left(x^{n}-1 \right )_{base\,\,x} = x^{0}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+......+x^{n-1}=\sum_{i=0}^{n}\frac{x^{i+1}-1}{x-1}\,\,\,,\,\,\,\text{para }x>1 [/latex]
Boa noite, Medeiros. Inicialmente, muito obrigado pela resposta. No entanto, imagino que haja um problema na formatação, posto que aparece a linguagem de código do LaTeX. Referente à categoria na qual publiquei a questão, escolhi Ensino Fundamental porque a questão é do livro Elementos da Matemática - Volume 0, do Rufino, a qual eu pensava que fosse para o Ensino Fundamental. Todavia, observo, neste momento, que a categoria "Álgebra" teria sido a opção mais adequada para fazê-lo. Dessa forma, desculpe-me por colocar essa questão nesta área. Isso aconteceu porque eu não me lembrava, nem lembro, de ter tido esse conteúdo e, assim, não sabia se era do E. F. ou não.

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Resolvido Re: Bases de numeração

Mensagem por SilverBladeII Sab 19 Jun 2021, 22:55

Continundo a sol do medeiros, 
Defina a=x-1, então
[latex]\begin{align*}
x^n-1&=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)\\&=a\cdot {\overbrace{111\dots11}^{n}}_x\\&={\overbrace{aa\dots aa}^{n}}_x
\end{align*}[/latex]
pois a é um inteiro entre 0 e x-1, inclusive
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Resolvido Re: Bases de numeração

Mensagem por carbonodourado12 Seg 21 Jun 2021, 20:02

@Medeiros escreveu:
@carbonodourado12 escreveu:Represente (x^n) - 1 na base x.
isto é do Ensino Fundamental?

[latex]\left(x^{n}-1 \right )_{base\,\,x} = x^{0}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+......+x^{n-1}=\sum_{i=0}^{n}\frac{x^{i+1}-1}{x-1}\,\,\,,\,\,\,\text{para }x>1 [/latex]
@SilverBladeII escreveu:Continundo a sol do medeiros, 
Defina a=x-1, então
[latex]\begin{align*}
x^n-1&=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)\\&=a\cdot {\overbrace{111\dots11}^{n}}_x\\&={\overbrace{aa\dots aa}^{n}}_x
\end{align*}[/latex]
pois a é um inteiro entre 0 e x-1, inclusive

Boa noite, pessoal. Desculpem-me pela pergunta, mas donde veio a ideia do valor do denominador equivalente a (x - 1) - e o que ele representa - na somatória? Apesar de ter entendido o porquê, eu não teria a ideia de equivaler (x^n) - 1 àquele produto (x - 1)[1 + x + x^2 + ... + x^(n-1)]. Isso é algum caso específico de algum conteúdo?


Última edição por carbonodourado12 em Seg 21 Jun 2021, 20:05, editado 2 vez(es) (Motivo da edição : Havia me esquecido dum detalhe para a compreensão de meu questionamento)

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Resolvido Re: Bases de numeração

Mensagem por SilverBladeII Seg 21 Jun 2021, 21:20

@carbonodourado12 escreveu:
@Medeiros escreveu:
@carbonodourado12 escreveu:Represente (x^n) - 1 na base x.
isto é do Ensino Fundamental?

[latex]\left(x^{n}-1 \right )_{base\,\,x} = x^{0}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+......+x^{n-1}=\sum_{i=0}^{n}\frac{x^{i+1}-1}{x-1}\,\,\,,\,\,\,\text{para }x>1 [/latex]
@SilverBladeII escreveu:Continundo a sol do medeiros, 
Defina a=x-1, então
[latex]\begin{align*}
x^n-1&=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)\\&=a\cdot {\overbrace{111\dots11}^{n}}_x\\&={\overbrace{aa\dots aa}^{n}}_x
\end{align*}[/latex]
pois a é um inteiro entre 0 e x-1, inclusive

Boa noite, pessoal. Desculpem-me pela pergunta, mas donde veio a ideia do valor do denominador equivalente a (x - 1) - e o que ele representa - na somatória? Apesar de ter entendido o porquê, eu não teria a ideia de equivaler (x^n) - 1 àquele produto (x - 1)[1 + x + x^2 + ... + x^(n-1)]. Isso é algum caso específico de algum conteúdo?
Isso é uma fatoração muito conhecida, é bom saber:
Para todo n inteiro positivo, vale que 
[latex]x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)[/latex]


Outra fatoração muito útil é: Para todo n ímpar positivo, vale que
[latex]x^n+1=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}+\dots+x^2-x^1+1)[/latex]


vc pode provar essas identidades usando soma de PG
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Resolvido Re: Bases de numeração

Mensagem por carbonodourado12 Seg 21 Jun 2021, 22:15

@SilverBladeII escreveu:
@carbonodourado12 escreveu:
@Medeiros escreveu:
@carbonodourado12 escreveu:Represente (x^n) - 1 na base x.
isto é do Ensino Fundamental?

[latex]\left(x^{n}-1 \right )_{base\,\,x} = x^{0}+x^{1}+x^{2}+x^{3}+......+x^{n-1}=\sum_{i=0}^{n}\frac{x^{i+1}-1}{x-1}\,\,\,,\,\,\,\text{para }x>1 [/latex]
@SilverBladeII escreveu:Continundo a sol do medeiros, 
Defina a=x-1, então
[latex]\begin{align*}
x^n-1&=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)\\&=a\cdot {\overbrace{111\dots11}^{n}}_x\\&={\overbrace{aa\dots aa}^{n}}_x
\end{align*}[/latex]
pois a é um inteiro entre 0 e x-1, inclusive

Boa noite, pessoal. Desculpem-me pela pergunta, mas donde veio a ideia do valor do denominador equivalente a (x - 1) - e o que ele representa - na somatória? Apesar de ter entendido o porquê, eu não teria a ideia de equivaler (x^n) - 1 àquele produto (x - 1)[1 + x + x^2 + ... + x^(n-1)]. Isso é algum caso específico de algum conteúdo?
Isso é uma fatoração muito conhecida, é bom saber:
Para todo n inteiro positivo, vale que 
[latex]x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1)[/latex]


Outra fatoração muito útil é: Para todo n ímpar positivo, vale que
[latex]x^n+1=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}+\dots+x^2-x^1+1)[/latex]


vc pode provar essas identidades usando soma de PG
Muito obrigado, SilverBladeII, está tudo mais claro agora! Não tem noção do quanto me ajudou, amigo!

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Resolvido Re: Bases de numeração

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