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trigonometria

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Mensagem por Cristina Lins 18/6/2021, 11:19 am

Mostre como (mediante o uso de uma tabela de funções trigonométricas) a igualdade cos x . cos y = 1/2cos alfa + ½ cos beta pode ser empregada para reduzir o produto de dois números reais positivos quaisquer às operações de soma e divisão por 2.

Cristina Lins
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trigonometria Empty Re: trigonometria

Mensagem por SilverBladeII 20/6/2021, 2:45 am

Digamos que queremos calcular x*y, e vamos supor ambos x e y positivos. Sejam m e n os inteiros tais que 
[latex]1\geq x\cdot 10^m, y\cdot 10^n > 0{,}1 [/latex]
(essa operação serve para que encontre valores mais facilmente na tabela)

Então
[latex]xy=10^{-m-n}(x\cdot10^m)(y\cdot10^n)[/latex].
Encontre na tabela os angulos [latex]\alpha, \beta[/latex] tais que [latex]\cos\alpha[/latex] e [latex]\cos\beta[/latex] sejam os mais proximos possiveis de [latex]x\cdot10^m[/latex] e [latex]y\cdot10^n[/latex], respectivamente. Então
[latex]\begin{\align*}xy&\approx10^{-m-n}\cos(\alpha)\cos(\beta)\\&=10^{-m-n}\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}\end{align*}.[/latex]
Encontre os valores de [latex]\cos(\alpha+\beta), \cos(\alpha-\beta)[/latex] na tabela e faça as operações necessárias (veja que o produtor por [latex]10^{-m-n}[/latex] consiste apenas de deslocamento de virgula, que é trivial)

Por exemplo, queremos calcular 32,3*47,8. Então
[latex]32{,}3\cdot47{,}8=10^{4}\cdot0{,}323\cdot0{,}478[/latex]
Olhando na tabela (figura abaixo), vemos que os angulos cujos cossenos mais se aproximam de 0,323 e 0,478 são 71º e 61,5, respectivamente. Assim,
[latex]\begin{align*}0{,}323\cdot0{,}478&\approx \cos(71)\cos(61{,5})\\&=\frac{\cos(132{,}5)+\cos(9.5)}{2}\\&=\frac{\cos(9{,}5)-\cos(47{,}5)}{2}\end{align*}[/latex].
Olhando novamente na tabela, descobrimos que cos 9,5≈0,98629 e cos 47,5≈0,67559. Então
[latex]0{,}323\cdot0{,}478\approx\frac{0,98629-0,67559}{2}=0.15535[/latex], 
de modo que
[latex]32{,}3\cdot47{,}8\approx 1553{,}5[/latex]
De fato, 32,3*47,8=1543.94
(Pra efeito de comparação, usando tabela de log descobri que 32,3*47,8≈1540)
trigonometria AFNP46NnET8PAAAAAElFTkSuQmCC
Essa tabela vai de 0.5 em 0.5 até 90, portanto tem 180 números. Uma tabela de log comum tem uns 900 números.
Se essa tabela fosse de 0.1 em 0.1, ela teria também 900 numeros, já melhoraria bastante a precisão.

...

Fiz o teste aq com angulo variando de 0.1 em 0.1 e cheguei em 1542,6, loucura

(desculpa a resposta grande, foi divertido pesquisar sobre isso)
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trigonometria Empty Re: trigonometria

Mensagem por Cristina Lins 23/6/2021, 10:53 am

Bom dia Sikverblade II
Fiquei impressionada com a sua resolução. Muito Obrigada. Valeu!!!!!

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