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Mensagem por Ettoregabriel2287 Qua 16 Jun 2021, 08:16

(AFA - 2012) Considere a função real [latex]g[/latex]: [latex]A \rightarrow R[/latex], tal que [latex]g(x) = \frac{x^{2}-x}{x^{2}+x}[/latex]. Sabendo-se que o conjunto A é o mais amplo possível, é verdade que:


a) ∃x ∈ A tal que g(x) = – 1.

b) se h(x) = – 1 + |g(x)|, então h possui raiz real.

c)se 0 < x < 1, então – 1 < g(x) < 0.

d) ∃x ∈ [latex]]-\infty, -2[[/latex] tal que g(x) > 3.

Gabarito: letra C.

Gostaria de entender mais detalhadamente o porquê da alternativa C ser verdadeira. Consegui chegar no domínio da função, isto é, [latex]x\neq 0 \ e x \neq -1[/latex]


Mas não consigo concluir.
Obrigado.
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Mensagem por gabriel de castro Qua 16 Jun 2021, 17:14

Olá Ettoregabriel, tudo certo?

Vamos lá avaliar as alternativas: 

a) Caso você iguale g(x)=-1 encontrará x=0, mas fazendo essa substituição notará que é impossível, afinal, nenhum é um absurdo números divididos por 0;

b) Tentaremos obter essas raízes da seguinte forma: 

[latex]h(x)=0\;\Rightarrow\;-1+\left | \frac{x^{2}-x}{x^{2}+x} \right |=0\;\Rightarrow\;\left | \frac{x(x-1)}{x(x+1)} \right |=1\;\Rightarrow\; \left | \frac{x-1}{x+1} \right |=1[/latex]

Se você testar todas as possibilidades para essa equação verá que ou x=Ø ou x=0 e a intersecção disso não existe, ou seja, alternativa incorreta;

c) Agora, observa a alternativa a), vemos que se g(x)=-1 teríamos x=0 e caso x=1 temos g(x)=0. Compare com o intervalo dado e verá que é justamente esse citado.

d) Se montarmos essa desigualdade teremos: 

[latex]g(x) > 3 \;\Rightarrow\; \frac{x^{2}-x}{x^{2}+x} > 3\;\Rightarrow\;\frac{x-1}{x+1}> 3\;\Rightarrow\;\frac{x-1-3x-3}{x+1}> 0\;\Rightarrow\;\\\\\frac{-2x-4}{x+1}> 0[/latex]

Fazendo um estudo do sinal teremos que -2 < x<-1

Espero ter ajudado Smile


Última edição por gabriel de castro em Qui 17 Jun 2021, 11:57, editado 1 vez(es)

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Mensagem por Ettoregabriel2287 Qui 17 Jun 2021, 07:33

Olá, Gabriel, tudo bem ?

Perdoe a ignorância, mas ainda não compreendi como chegou no resultado da alternativa C.
Fazendo g(x) = -1, obtive x = 0, okay. Fazendo x = 1 obtive g(1) = 0. Mas como chego na conclusão da alternativa C ?
Edit: apaguei uma coisa que eu entendi.
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Mensagem por gabriel de castro Qui 17 Jun 2021, 12:09

Boa tarde, meu xará 

Devo dizer que não sei como lhe explicar porque na minha visão está olhando pra resposta, pois encontrou g(0)=-1 e g(1)=0. Mas olha o intervalo de existência que a alternativa estipulou 0 < x < -1 e o que a alternativa tá te mostrando na segunda parte são os valores possíveis para y (ou g(x)) dentro desse intervalo, isto é, no intervalo dado para x, y terá valores correspondentes seguindo a lei citada. Consegue compreender? Caso não, avise!

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