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ITA (Polinômios)

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Mensagem por natanlopes_17 Qui 10 Jun 2021, 18:47

Um polinômio P(x) dividido por x^2+x+1 deixa resto igual a -x+1  dividido por x^2-x+1 deixa resto 3x+5. Qual o resto da divisão de P(x) por x^4+x^2+1


Gab:-2x^3-2x^2+x+5
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ITA (Polinômios) Empty Re: ITA (Polinômios)

Mensagem por eduardodudu101 Sex 11 Jun 2021, 02:16

Seja p(x) um polinômio. Façamos a divisão por a(x),b(x) e a(x)b(x).

(I) [latex]p(x) = a(x)q_{1} + r_{1}[/latex]

(II) [latex]p(x) = b(x)q_{2} + r_{2}[/latex]

(III) [latex]p(x) = a(x)b(x)q + r[/latex]

Igualando (I) e (II):

[latex]a(x)q_{1} + r_{1} = a(x)b(x)q + r[/latex]


[latex]r = a(x)[q_{1} - b(x)q] + r_{1}[/latex]


em processo análogo para a igualdade entre (II) e (III),concluimos que a divisão de r(x) por a(x) deixa como resto r1(x),assim como a divisão de r(x) por b(x) deixa como resto r2(x).

Diante disso,podemos proceder da seguinte forma:

Primeiramente,devemos levar em conta que [latex]x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} - x + 1)(x^{2} + x + 1)[/latex]


Sendo [latex]q(x) = x^{4} + x^{2} + 1[/latex] do 4º grau o resto de p(x) por q(x) é do 3º grau,da forma r(x) = ax³ + bx² + cx + d

Para [latex]a(x) = x^{2} + x + 1[/latex] e [latex]b(x) = x^{2} - x + 1[/latex],faremos as divisões de r(x) por a(x) e b(x).

Na divisão de r(x) por a(x),obtém-se resto (c-b)x + (d - b + a)

Já na divisão de r(x) por b(x),obtém-se resto (b-c)x + (d - b - a)

Fazendo igualdade polinomial em ambos os casos,conforme o teorema demonstrado:

[latex](c-b)x + (d-b+a) \equiv -x+1[/latex]


[latex](b+c)x + (d-b-a) \equiv 3x + 5[/latex]



[latex]\left\{\begin{matrix} c-b = -1 & \\ d-b+a = 1 & \\ b+c = 3 & \\ d-b-a = 5 & \end{matrix}\right.[/latex]



Resolvendo o sistema,teremos a = -2;b=2;c=1;d=5

Logo,o resto de p(x) por a(x)b(x) é -2x³ + 2x² + x + 5
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