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Números Complexos

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Mensagem por gleysocidalia Ter 08 Jun 2021, 12:35

Resolva em [latex]\mathbb{C}[/latex] a equação [latex]z^{4}=5\cdot (z-1)(z^{2}-z+1)[/latex].

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Números Complexos Empty Re: Números Complexos

Mensagem por FreddieMercury Qui 10 Jun 2021, 09:24

Questão legal, não achei uma forma mais rápida que esta:

[latex]z^{4}=5(z-1)(z^{2}-z+1) \rightarrow z^{4}-5z^{3}+10z^{2}-10z+5=0[/latex]

[latex]z^{4}-4z^{3}+6z^{2}-4z+1-z^{3}+4z^{2}-6z+4=0\rightarrow (z-1)^{4}\left [ z^{3}-4z^{2}+6z-4 \right ]=0[/latex]

[latex](z-1)^{4}-(z-1)^{3}+(z-1)^{2}-(z-1)+1=0[/latex]

[latex]z-1=x[/latex]

[latex]x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1=0\rightarrow x^{2}-x+1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0[/latex]

[latex]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-(x+\frac{1}{x})+1=0\rightarrow \left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}-\left ( 1+\frac{1}{x} \right )-1=0[/latex]

[latex]x+\frac{1}{x}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\rightarrow \frac{x^{2}+1}{x}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}[/latex]

Ramificando-se em duas possibilidades:

[latex]x^{2}-(\frac{\sqrt{5}+1}{2})x+1=0\rightarrow z-1=\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\pm \sqrt{\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{2}-4}}{2}[/latex]

[latex]x^{2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})x+1=0\rightarrow x=z-1=\frac{\frac{1-\sqrt{5}}{2}\pm \sqrt{\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{2}-4}}{2}[/latex]

Agora basta somar 1 dos dois lados da equação, e achamos os valores de z
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