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triangulo inscrito na circunferência

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Resolvido triangulo inscrito na circunferência

Mensagem por LB Beatz Seg 07 Jun 2021, 08:58

Seja AB um diâmetro do círculo M e seja C um ponto de M diferente de A
e B. Usando a distância em coordenadas, mostre que o triângulo Δ ABC
é retângulo.


Última edição por LB Beatz em Seg 07 Jun 2021, 12:09, editado 1 vez(es)

LB Beatz
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Resolvido Re: triangulo inscrito na circunferência

Mensagem por josesep Seg 07 Jun 2021, 10:51

Olá,a resolução se baseia no teorema do ângulos inscrito na circunferência,que vale metade do arco projetado pelo ângulo!!triangulo inscrito na circunferência Img_2010

josesep
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Resolvido Re: triangulo inscrito na circunferência

Mensagem por LB Beatz Seg 07 Jun 2021, 11:13

Eu ja tinha uma breve ideia sobrei isso, mas como eu poderia fazer essa mesma explicação utilizando o sistema de coordenadas do plano cartesiano.

LB Beatz
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Resolvido Re: triangulo inscrito na circunferência

Mensagem por Medeiros Seg 07 Jun 2021, 11:26

@LB Beatz escreveu:Seja AB um diâmetro do círculo M e seja C um ponto de M diferente de A
e B. Usando a distância em coordenadas, mostre que o triângulo Δ ABC
é retângulo.
será que com a expressão "usando a distância em coordenadas" quer-se o que segue abaixo?

seja:
M: x² +  y² = 1 -----> [latex]y=\pm\sqrt{1-x^{2}}[/latex]
para a ordenada do ponto C vou usar somente a raiz positiva (se usar a negativa o resultado é o mesmo)
[latex]\\C\in M \longrightarrow C=(x, \sqrt{1-x^{2}})[/latex]
A=(-1, 0)
B = (1,  0)

AB = 2 ----->AB² = 4
AC² = (x + 1)² + (√(1 - x²) - 0)² -----> AB² = x² + 2x + 1 + 1 - x² -----> AB² = 2x + 2
BC² = (x - 1)² + (√(1 - x²) - 0)² ------> BC² = x² - 2x + 1 + 1 - x² ------> BC² = -2x + 2

AC² + BC² = 2x + 2 - 2x + 2 -----> AC² + BC² = 4

.:. AC² + BC² = AB² -----> por Pitágoras o triâng. ABC é retângulo em C.
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Resolvido Re: triangulo inscrito na circunferência

Mensagem por LB Beatz Seg 07 Jun 2021, 11:56

@Medeiros escreveu:
@LB Beatz escreveu:Seja AB um diâmetro do círculo M e seja C um ponto de M diferente de A
e B. Usando a distância em coordenadas, mostre que o triângulo Δ ABC
é retângulo.
será que com a expressão "usando a distância em coordenadas" quer-se o que segue abaixo?

seja:
M: x² +  y² = 1 -----> [latex]y=\pm\sqrt{1-x^{2}}[/latex]
para a ordenada do ponto C vou usar somente a raiz positiva (se usar a negativa o resultado é o mesmo)
[latex]\\C\in M \longrightarrow C=(x, \sqrt{1-x^{2}})[/latex]
A=(-1, 0)
B = (1,  0)

AB = 2 ----->AB² = 4
AC² = (x + 1)² + (√(1 - x²) - 0)² -----> AB² = x² + 2x + 1 + 1 - x² -----> AB² = 2x + 2
BC² = (x - 1)² + (√(1 - x²) - 0)² ------> BC² = x² - 2x + 1 + 1 - x² ------> BC² = -2x + 2

AC² + BC² = 2x + 2 - 2x + 2 -----> AC² + BC² = 4

.:. AC² + BC² = AB² -----> por Pitágoras o triâng. ABC é retângulo em C.

Esse M: x² +  y² = 1 você escolheu arbitrariamente?

LB Beatz
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Resolvido Re: triangulo inscrito na circunferência

Mensagem por Medeiros Seg 07 Jun 2021, 12:00

sim.
aquilo que está no parágrafo do "seja" foi escolhido arbitrariamente. A questão impunha trabalhar com um círculo e com coordenadas, escolhi o que ficava mais fácil.

a propósito, a terminologia "círculo" adotada na questão está errada, o correto é circunferência. O triângulo ABC somente é retângulo SE o ponto C estiver sobre a circunferência.
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