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Função polinomial

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Resolvido Função polinomial

Mensagem por Fëanor Qui 20 Maio 2021, 10:17

Quantas funções polinomiais grau maior ou igual que 1 satisfazem [latex]f(x^{2})=(f(x))^{2}=f(f(x)),\forall x[/latex] ?


Última edição por Fëanor em Sex 21 Maio 2021, 13:52, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Função polinomial

Mensagem por SilverBladeII Sex 21 Maio 2021, 00:12

Seja n o grau de f. De f(x²)=f(f(x)), temos que o grau de f(x²) é o mesmo de f(f(x)), e portanto 2n=n*n=n², então n=0 ou n=2. n>1 ent n=2.
Seja f(x)=ax²+bx+c. então
(ax²+bx+c)²=ax⁴+bx²+c
a²x⁴+2abx³+x²(2ac+b²)+2bcx+c²=ax⁴+bx²+c
a²=a ent a=0 ou a=1. O polinomio tem grau 2 ent a=1
2ab=0 e 2bc=0, então b=c=0.
portanto f(x)=x², que satisfaz todas as equações dadas.
R: 1 função
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