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INEQUAÇÃO

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Mensagem por Sidinez Sab 15 Maio 2021, 09:40

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Sidinez
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Mensagem por SilverBladeII Seg 21 Jun 2021, 23:38

Primeiramente, observamos que
[latex]1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}>0\hspace{5cm}(1)[/latex]
portanto,

[latex]\begin{align*}
& \sqrt{x-\frac{1}{x}}-\sqrt{1-\frac{1}{x}} > \frac{x-1}{x}\\\iff & \sqrt{\frac{x^2-1}{x}}-\sqrt{\frac{x-1}{x}}-\frac{x-1}{x}>0\\\iff& \sqrt{\frac{x-1}{x}}\left(\sqrt{x+1}-1-\sqrt{\frac{x-1}{x}}\right)>0\\\iff&\sqrt{x+1}-1-\sqrt{\frac{x-1}{x}} > 0 \hspace{5cm}(2)\\{\implies}&\sqrt{x+1}>1+\sqrt{\frac{x-1}{x}}\\\overset{*}{\implies}& x+1>1+\frac{x-1}{x}+2\sqrt\frac{x-1}{x}\\\implies & x > \frac{x-1}{x}+2\sqrt\frac{x-1}{x} >0\end{align*}[/latex]
onde em (*) foi utilizado que ambos os lados da implicação anterior eram posiivos, portanto o quadrado de cada lado mantém o lado da desigualde.
Ora, como x>0, de (1), obtemos que x-1>0, e então x>1. Veja que x>1 já é suficiente para definir todos os termos com radicais (isto é, todos os numeros nos radicais estão definidos nos reais caso x>1)

Continuando de (2), temos que
[latex]\begin{align*}
&\sqrt{x+1}-1-\sqrt{\frac{x-1}{x}} > 0\\
\iff&\sqrt{\frac{1}{x}}\left(\sqrt{x^2+x}-(\sqrt x+\sqrt{x-1})\right)>0\\
\iff&\sqrt{x^2+x}>(\sqrt x+\sqrt{x-1})\\
\iff& x^2+x > 2x-1+2\sqrt{x^2-x}\\
\iff& (x^2-x)+1-\sqrt{x^2-x}>0\\
\iff & (\sqrt{x^2-x}-1)^2>0
\end{align*}[/latex]

Para a ultima desigualdade ocorrer, basta que 
[latex]\sqrt{x^2-x}-1\neq 0[/latex]
ou ainda,
[latex]x\neq \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/latex]
Como todos os passos até aqui foram de ida e volta, essa condição é suficiente e necessária para ocorrência da desigualdade, desde que os termos estejam bem definidos. Portanto, o conjunto solução para a desigualdade é 
[latex]S_x=(1, +\infty)/\left\{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}[/latex]

Se vc tiver qqr duvida sobre a validade dos passos, ou se vc encontrar um erro, fala ae. Mas eu te convido a escanear cada passo com "se e somente se" e tentar responder por que que é um passo de ida e volta
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