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Mensagem por SAMUEL MOREIRA DE SOUSA 13/5/2021, 10:14 am

Para resolver o problema de lotação de Covid-19, um determinado hospital decidiu adquirir um terreno triangular cujos lados medem 120 m, 160 m e 200 m, para a construção de uma nova ala hospitalar com um único pavimento térreo de base retangular. Se dois lados 
consecutivos da nova ala hospitalar serão construídos sobre os lados menores do triângulo, então a maior área possível para esta construção é de:

A) 4800 m^2
B) 5600 m^2 Gabarito : A
C) 2400 m^2
D) 7200 m^2
E) 1200 m^2

SAMUEL MOREIRA DE SOUSA
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Mensagem por Medeiros 13/5/2021, 11:36 pm

Temos um triângulo T com lados {120, 160, 200} m dentro do qual vamos colocar um retângulo de área máxima. Me é mais confortável trabalhar com números inteiros os menores possíveis, por isso vou dividir todo o triâng. T por 40 e trabalhar com o triâng. T' {3, 4, 5}. E agora ficou claro que o triângulo é um pitagórico (retângulo). Não podemos esquecer que T e T' são triângulos semelhantes cuja razão de semelhança é k =40.

Área  Scre1369

O nosso triângulo T' é o ABC, dentro do qual construímos o retângulo de lados x e y cuja área será S = x.y.
O triângulo BDE é semelhante ao triângn. BAC, então podemos escrever
[latex]\\\frac{x}{4}=\frac{3-y}{3}\,\,\,\longrightarrow\,\,\, 3x=12-4y \,\,\,\longrightarrow\,\,\, y=3-\frac{3}{4}x [/latex]

e a área será
[latex]\\S' = x.y \,\,\,\longrightarrow\,\,\,S' = x.(3-\frac{3}{4}x) \,\,\,\longrightarrow\,\,\, S' = -\frac{3}{4}x^{2}+3x[/latex]

esta expressão da área é a equação de uma parábola com concavidade para baixo e portanto tem um valor máximo no vértice. E justamente a área máxima que queremos é a ordenada do vértice.
[latex]\\S'_{max}=-\frac{\Delta}{4a}\,\,\,\longrightarrow\,\,\, S'_{max}=\frac{-9}{4.\frac{-3}{4}} \,\,\,\longrightarrow\,\,\, S'_{max}=3[/latex]

Maaas... lembremos que esta é a área máxima do triângulo T' e querremos a do triâng. T cuja razão de semelhança é k.
[latex]\\\frac{S_{max}}{S'_{max}}=k^{2} \,\,\,\longrightarrow\,\,\, S_{max}=40^{2}.S'_{max}=1\,600\cdot3 \,\,\,\longrightarrow\,\,\, \boxed{\,\,\,S_{max}=4\,800\,\,m^{2}\,\,\,}[/latex]
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