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Símbolo de Legendre

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Resolvido Símbolo de Legendre

Mensagem por Perceval Sab 08 Maio 2021, 23:00

Alguém poderia resolver um destes para que eu possa me orientar e calcular os outros dois?
Calcular [latex]\left ( \frac{48}{97} \right ), \left (\frac{235}{991} \right), \left (\frac{138}{883} \right )[/latex]
onde [latex]\left ( \frac{a}{b} \right )[/latex]é o Símbolo de Legendre


Última edição por Perceval em Dom 09 Maio 2021, 22:19, editado 2 vez(es)
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Resolvido Re: Símbolo de Legendre

Mensagem por SilverBladeII Dom 09 Maio 2021, 03:00

O símbolo de legendre é completamente multiplicativo, então como 
[latex]48=2^4\cdot3[/latex], temos
[latex]\left(\frac{48}{97}\right)=\left(\frac{2}{97}\right)^4\cdot\left(\frac{3}{97}\right)\overset{*}{=}\left(\frac{3}{97}\right)[/latex]
onde em (*) foi usado que, como 97 não divide 2, 2 legendre 97 é +/- 1 e portanto elevado a uma potencia par é 1.
Para calcular o resto, vamos usar a reciprocidade quadrática:
[latex]\begin{align*}
\left(\frac{3}{97}\right)&=(-1)^{\frac{3-1}{2}\cdot\frac{97-1}{2}}\left(\frac{97}{3}\right)\\
&\overset{**}{=}\left(\frac{1}{3}\right)\\
&=1
\end{align*}[/latex]
(**) pois 97 é congruente a 1 mod 3
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Resolvido Re: Símbolo de Legendre

Mensagem por Perceval Dom 09 Maio 2021, 22:19

@SilverBladeII escreveu:O símbolo de legendre é completamente multiplicativo, então como 
[latex]48=2^4\cdot3[/latex], temos
[latex]\left(\frac{48}{97}\right)=\left(\frac{2}{97}\right)^4\cdot\left(\frac{3}{97}\right)\overset{*}{=}\left(\frac{3}{97}\right)[/latex]
onde em (*) foi usado que, como 97 não divide 2, 2 legendre 97 é +/- 1 e portanto elevado a uma potencia par é 1.
Para calcular o resto, vamos usar a reciprocidade quadrática:
[latex]\begin{align*}
\left(\frac{3}{97}\right)&=(-1)^{\frac{3-1}{2}\cdot\frac{97-1}{2}}\left(\frac{97}{3}\right)\\
&\overset{**}{=}\left(\frac{1}{3}\right)\\
&=1
\end{align*}[/latex]
(**) pois 97 é congruente a 1 mod 3
Valeu!
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Resolvido Re: Símbolo de Legendre

Mensagem por Perceval Seg 10 Maio 2021, 11:16

@SilverBladeII escreveu:O símbolo de legendre é completamente multiplicativo, então como 
[latex]48=2^4\cdot3[/latex], temos
[latex]\left(\frac{48}{97}\right)=\left(\frac{2}{97}\right)^4\cdot\left(\frac{3}{97}\right)\overset{*}{=}\left(\frac{3}{97}\right)[/latex]
onde em (*) foi usado que, como 97 não divide 2, 2 legendre 97 é +/- 1 e portanto elevado a uma potencia par é 1.
Para calcular o resto, vamos usar a reciprocidade quadrática:
[latex]\begin{align*}
\left(\frac{3}{97}\right)&=(-1)^{\frac{3-1}{2}\cdot\frac{97-1}{2}}\left(\frac{97}{3}\right)\\
&\overset{**}{=}\left(\frac{1}{3}\right)\\
&=1
\end{align*}[/latex]
(**) pois 97 é congruente a 1 mod 3
E aí, Silver. Acho q ando te enchendo a paciência (por isso tb devo lhe agradacer por responder praticamente todos os meus tópicos kkkk), mas tem como você me tirar uma dúvida aqui? 
Por exemplo, em [latex]\left ( \frac{3}{563} \right )\left ( \frac{143}{563}\right )[/latex] eu posso calcular[latex]\left ( \frac{3}{563} \right )=(-1)^{\frac{3-1}{2}\cdot\frac{563-1}{2}}\left ( \frac{563}{3} \right )[/latex] e [latex]\left ( \frac{143}{563}\right )=(-1)^{\frac{143-1}{2}\cdot\frac{563-1}{2}}\left ( \frac{563}{143} \right )[/latex] e substituir tudo em [latex]\left ( \frac{3}{563} \right )\left ( \frac{143}{563}\right )?
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Resolvido Re: Símbolo de Legendre

Mensagem por SilverBladeII Seg 10 Maio 2021, 17:30

É pq seus problemas são divertidos kkkkkkkkkkkkkk

Pode sim, contanto que vc possa usar a reciprocidade quadrática.
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Resolvido Re: Símbolo de Legendre

Mensagem por Perceval Seg 10 Maio 2021, 22:57

@SilverBladeII escreveu:É pq seus problemas são divertidos kkkkkkkkkkkkkk

Pode sim, contanto que vc possa usar a reciprocidade quadrática.
Ah, saquei. Vlw!
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Resolvido Re: Símbolo de Legendre

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