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Polinômios

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Resolvido Polinômios

Mensagem por gustavogc14 Seg 03 Maio 2021, 23:12

Sejam [latex]x[/latex] [latex]y[/latex] números reais tais que:
[latex](x-1)^{3}+2017(x-1)=-1[/latex] [latex](y-1)^{3}+2017(y-1)=1[/latex]. O valor de [latex]x+y[/latex] é:

A) 2
B) 3
C) 2015
D) 2017
E) 2019


Gabarito:
A


Última edição por gustavogc14 em Ter 04 Maio 2021, 22:38, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Polinômios

Mensagem por Vitor Ahcor Ter 04 Maio 2021, 11:24

Artifício x-1 = a, y-1 = b. Temos:

a³ + 2017a = -1
b³ + 2017b = 1

Somando membro a membro:

a³ + 2017a + b³ + 2017b = 0

⇒ (a+b)*(a²+b²-ab) + 2017*(a+b)=0

⇒(a+b)*(a²+b²-ab+2017) = 0

i) a+b = 0 ⇒ x-1 + y-1 = 0 ⇒ x+y = 2

ii) a²+b²-ab+2017 = 0. Calculando ∆:

∆ = b² - 4*1*(b²+2017) = - (3b² + 2017) < 0

Como a,b ∈ ℝ o segundo caso é um absurdo,

Logo x+y = 2.
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