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Mensagem por N4PSTER013 Seg 03 Maio 2021, 05:39

Prove que: 

[latex]\binom{n}{1} + 2\cdot \binom{n}{2} + 3\cdot \binom{n}{3}+ ... + n\cdot \binom{n}{n} = n \cdot 2^{n - 1}[/latex]

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Mensagem por Elcioschin Seg 03 Maio 2021, 16:17

Uma possibilidade, considerando C(n, 0) = 1 e C(n, n) = 1:

C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + C(n, 3)  + ... + C(n, n) = 2n ---> Logo:

C(n, 1) + C(n, 2) + C(n, 3) + C(n, n) = 2n - 1

............. C(n, 2) + C(n, 3) + ... + C(n, n) = 2n - 1 - C(n, 1)

........................ + C(n, 3) + ... + C(n, n) C(n, n) = 2n - 1 - C(n, 1) - C(n, 2)

E assim por diante. Basta somar tudo
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Mensagem por Vitor Ahcor Seg 03 Maio 2021, 17:18

Uma outra ideia tbm seria:

k*C(n,k) = k*[n!/(n-k)!k!] = k*[n*(n-1)!/(k(k-1)!(n-k)!)]

Logo k*C(n,k) = n*C(n-1,k-1)

Portanto 

∑k*C(n,k) = ∑n*C(n-1,k-1) = n*∑C(n-1,k-1) = n*2^(n-1), está provado.
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Mensagem por N4PSTER013 Qui 06 Maio 2021, 08:37

@Elcioschin escreveu:Uma possibilidade, considerando C(n, 0) = 1 e C(n, n) = 1:

C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + C(n, 3)  + ... + C(n, n) = 2n ---> Logo:

C(n, 1) + C(n, 2) + C(n, 3) + C(n, n) = 2n - 1

............. C(n, 2) + C(n, 3) + ... + C(n, n) = 2n - 1 - C(n, 1)

........................ + C(n, 3) + ... + C(n, n) C(n, n) = 2n - 1 - C(n, 1) - C(n, 2)

E assim por diante. Basta somar tudo
Somando tudo, eu chegaria em 0 = 0. Mas não entendi como isso iria provar que 
[latex]\sum_{k=1}^{n}k\cdot \binom{n}{k} = n\cdot 2^{n-1}[/latex]

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