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OCM 2017

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Resolvido OCM 2017

Mensagem por Perceval Dom 02 Maio 2021, 08:35

Seja ABC um triângulo equilátero de área 1m^2. Considere os pontos D, E e F sobre os lados BC, CA e AB, respectivamente, de modo que CD = 2BD, AE = 2CE e BF = 2AF. Seja H a interse¸c˜ao dos segmentos AD e EF. Calcule a área do triângulo DFH.
OCM 2017 WegcvUpnZqsAAAAASUVORK5CYII=


Última edição por Perceval em Seg 03 Maio 2021, 06:28, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: OCM 2017

Mensagem por SilverBladeII Dom 02 Maio 2021, 19:10

escrevi meio com pressa, qqr duvida pergunta aí

Suponha que o lado do triangulo seja 3a e a altura 3h. Sabemos que AFE=90º (prove!), e AEF=30º. Prolongue o segmento EF até o ponto M sobre a reta BC, então temos que ECF é isósceles e EC=CM=a. Por menelaus n triangulo BFM em relção aos pontos A, H e D, temos
[latex]\frac{AF}{AB}\cdot\frac{HM}{HF}\cdot\frac{DB}{DM}=1[/latex]
portanto
[latex]\frac{a}{3a}\cdot\frac{HM}{HF}\cdot\frac{a}{3a}=1[/latex]
então 
[latex]\frac{HM}{HF}=\frac{[\Delta HMD]}{[\Delta HFD]}=9[/latex]

Sendo [latex]HD=2h[/latex], temos 
[latex] \left[ \Delta MFD \right] = \frac{2h\cdot 3a}{2} = \frac{2}{3} [/latex]

Sabendo que [latex]\left[ \Delta MFD \right]= \left[ \Delta HFD \right]+\left[ \Delta HMD \right][/latex],
e basta resolver o sisteminha


Última edição por SilverBladeII em Dom 02 Maio 2021, 22:41, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: OCM 2017

Mensagem por Elcioschin Dom 02 Maio 2021, 22:26

Uma solução por GA:

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Resolvido Re: OCM 2017

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