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Resolvido Limites

Mensagem por loron19052 Qui 29 Abr 2021, 20:02

Bem meu curso de Cálculo I começou há pouco temop e estou tendo um pouco de dificuldade  em escrever resoluções. Queria saber se minha questão está correta sobre o problema 3-i do Calculus - Michael Spivak e se possivel algumas dicas sobre o assunto. Segue Enunciado original e traduzido:
Eng: In each of the following cases, determine the limit L for the given a, and prove that it is the limit by showing how to find a delta such that | f(x) - L |< Ɛ for all x satisfying 0 < |x-a| < delta.

Port: Em cada um dos seguintes casos, determine o limite L para o a dado e prove que é o limite mostrando como encontrar um delta tal que | f (x) - L | < Ɛ para todo x satisfazendo 0 < | x-a | < delta.
Código:
[latex]i: f(x)=x*[3-cos(x^{2})], a= 0[/latex]
Resolução:
Código:
[latex]Hipotese: \\
\forall \epsilon>0,\exists \delta>0|0<|x-0|<\delta \therefore |x*[3-cos(x^{2})]-L|<\epsilon\\
\lim_{x\rightarrow 0}x*[3-cos(x^{2})]=0\\
Tese:\\
Dado:\epsilon>0\\
Supoe-se:0<|x|<\delta\\
Temos:\delta=\frac{\epsilon}{2}\\
Averiguando: |x*[3-cos(x^{2})]|\\
= |x|*|3-cos(x^{2})|\\
<\delta*|2|\\
<\frac{\epsilon}{2}*2\\
=\epsilon \\c.q.d.[/latex]
Obrigado desde já o/


Última edição por loron19052 em Sex 30 Abr 2021, 05:52, editado 1 vez(es)

loron19052
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Resolvido Re: Limites

Mensagem por SilverBladeII Sex 30 Abr 2021, 01:15

Talvez a sol no geral esteja um pouco confusa, e tem um errinho
[latex]|x\cdot[3-\cos(x^2)]| \leq 2x [/latex]
Como contra exemplo tome [latex]x=\sqrt{\pi/6}[/latex]

Podemos fazer diferente: [latex]\cos(x^2)\geq -1 \implies 3-\cos(x^2)\leq 4[/latex], e então se [latex]|x|< \epsilon / 4[/latex], obtemos 
[latex]|x(3-\cos(x^2))|=|x|\cdot|3-\cos(x)|<4\cdot\epsilon/4=\epsilon[/latex]

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