Preciso de ajuda em geometria analítica

Boa noite, pessoal. Estou aprendendo na faculdade o conteúdo de geometria analítica, mas eu ainda não estou acostumado com o estilo de como as questões são elaboradas. Mostrar é a mesma coisa que provar ou demonstrar? Por exemplo, na questão abaixo eu posso fazer o desenho e as devidas constatações ou preciso escrever notações matemática para chegar na resposta? As soluções que vi só seguiram na primeira abordagem... Quem puder me dar uma ajuda pra compreender melhor os enunciados desse tipo e os devidos procedimentos para chegar na resposta, eu agradeço!!


Questão 01: Mostre que, se A≠B, então (A,B) e (B,A) são de mesmo comprimento, mesma direção e sentido contrário. 

Olá Darlam! Bom dia!
Bom, eu acho que tudo depende do que a questão pede para vc, pois estamos analisando geoometria analítica... logo, ele pode pedir uma distância entre pontos ou então algo um pouco mais complexo como uma elipse, por exemplo.
Logo, eu diria a vc para sempre fazer as questões de modo bem meticuloso, no sentido de sempre detalhar o máximo possível os seus cálculos, até porque isso também te ajuda na hora de estudar.
A parte de mostrar e provar/demonstrar, acho que também depende de como a questão vem até vc, pois ela pode pedir uma determinada fórmula, e vc só pega aquela decorada e joga na questão para faze-la... ou então ela pode te pedir uma demonstração de, por exemplo, como saber se um triângulo aleatório de pontos dados seria retângulo(nesse caso, é só perceber que as distâncias entre os pontos, que são os lados do triângulo, respeitam a fórmula de Pitágoras)
Portanto, como o ditado diz que a prática leva a perfeição, se vc estudar bem geometria analítica, vc mata de jeito!

Mas, agr, dps de ter te ajudado nessa parte, vamos para essa questão 01.
Bom, o que acontece nela?!
Simples, vamos pensar que (A = 5)  e (B = 3), logo, o primeiro ponto seria o (5,3) e o segundo, (3,5)
Primeiramente, eles não são a mesma coisa, e isso tem que ficar bem claro para vc.
Quando vc construir o plano cartesiano e colocar esses pontos em suas respectivas coordenadas(terá uma foto anexada aqui mesmo, onde construi e coloquei os pontos para vc ver), vc perceberá algumas coisas muito legais:

->   1º: A distância de (5,3) ao centro é igual a distância de (3,5) ao centro:
 Podemos provar isso pela fórmula da distância entre pontos(se vc quiser, só me pontuar na sua resposta que deseja ver como fiz o cálculo dessa distância, é só aplicar a fórmula nesses pontos)

 Feito esse cálculo, conseguimos achar que a distância de (5,3) ao centro (0,0) é igual a distância de (3,5) ao centro (0,0). Portanto, provamos que eles são de mesmo comprimento

->   2º: Eles apresentam a mesma direção:
 Isso ficará mais claro após vc ver a imagem que postarei aqui. Se vc perceber, esses pontos são perpendiculares.
Logo, provamos que eles apresentam a mesma direção


->   3º: Eles apresentam sentidos opostos:
 Isso também ficará fácil após vc ver a imagem. Como vc pode observar, o nosso ponto (5,3) variou em no eixo x exatamente o que o ponto (3,5) variou em y. Logo, perceba que, quanto mais eu aumento o ponto (5,3) em x, mais o outro ponto (3,5) irá variar em y. E o mesmo serve se aumentarmos a coordenada y também! Logo, provamos que eles apresentam sentidos opostos!

Espero que vc tenha entendido tudo. Qualquer coisa, pode pontuar! Vlw e grande abraço!

Esta é a imagem que te falei, com ela vc conseguirá entender melhor o que te expliquei!
Tive que postar em outra mensagem por limite de tamanho.
Abraços!

->   2º: Eles apresentam a mesma direção:
 Isso ficará mais claro após vc ver a imagem que postarei aqui. Se vc perceber, esses pontos são perpendiculares.
Logo, provamos que eles apresentam a mesma direção

Eu consegui entender todas as coisas que você me esclareceu, muito obrigado! A única coisa que fiquei em dúvida foi nessa parte de que por conta dos pontos serem perpendiculares eles possuam a mesma direção. Eu achava que isso só valia quando eles fossem paralelos... Ou entendi errado o que você escreveu? kkkkk

É bom que vc tenha entendido, pq é um assunto bem chatinho de se lidar, principalmente com relação a essa base, q pode ser mt importante para vc no decorrer da matéria!

Com relação a sua dúvida, acho q eu n expliquei bem tbm kkkkk.
Mas que bom q vc pontuou ela.
Bem, o que ocorre é o seguinte: quando falamos de direção, estamos falando de posições, como horizontal... vertical... os pontos da Rosa dos Ventos(norte, sul, leste, oeste, noroeste, ....)
Logo, observando os segmentos que fizemos com base na origem e nos pontos A e B, percebemos que eles possuem a mesma direção pois, devido a perpendicularidade presente, eles apresentarão a mesma direção a seguir. No caso deles, seria formando um ângulo de 90º

Para que vc entenda melhor, peguei essa imagem em um site que gosto bastante! Nele, há quatro seguimentos de reta... podemos dizer, então, que "a" e "b" apresentam a mesma direção, pois estão em paralelo(como vc citou) e "c" e "d" também apresentam, apesar deles estarem em sentidos opostos.


Caso não tenha ficado claro, por favor, pontue que tento explicar com mais clareza!
Abraços!