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Cálculo 3 - Séries - Anton Vol 11 - 9.5.45

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Mensagem por SpeedXFX Sab 17 Abr 2021, 17:04

Boa tarde, pessoal! Estou estudando séries e não consegui fazer um exercício da lista, gostaria de pedir uma ajuda pra vocês Smile

45 - Use qualquer método para determinar se a série converge. 

Cálculo 3 - Séries - Anton Vol 11 - 9.5.45 Gif

Gabarito: Converge


Desde já, agradeço!

SpeedXFX
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Cálculo 3 - Séries - Anton Vol 11 - 9.5.45 Empty Re: Cálculo 3 - Séries - Anton Vol 11 - 9.5.45

Mensagem por SilverBladeII Dom 27 Jun 2021, 02:48

temos que arctg(x) < pi/2 para 0< x < infty. 
Além disso, dado que x>0, arctg x >0. Portanto temos uma série de termos positivos. 
Assim, para todo inteiro k>1, temos
[latex]\sum_{i=1}^{k}\frac{\arctan i}{i^2}\leq \sum_{i=1}^{k}\frac{\pi/2}{i^2}\leq\frac{\pi}{2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}[/latex]
Então a série é limitada, e portanto converge
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