Cálculo 3 - Séries - Anton Vol 11 - 9.5.45
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Cálculo 3 - Séries - Anton Vol 11 - 9.5.45
por SpeedXFX Sáb 17 Abr 2021, 18:04
Boa tarde, pessoal! Estou estudando séries e não consegui fazer um exercício da lista, gostaria de pedir uma ajuda pra vocês 
45 - Use qualquer método para determinar se a série converge.
Gabarito: Converge
Desde já, agradeço!
45 - Use qualquer método para determinar se a série converge.
Gabarito: Converge
Desde já, agradeço!
SpeedXFX- Iniciante
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Re: Cálculo 3 - Séries - Anton Vol 11 - 9.5.45
por SilverBladeII Dom 27 Jun 2021, 03:48
temos que arctg(x) < pi/2 para 0< x < infty.
Além disso, dado que x>0, arctg x >0. Portanto temos uma série de termos positivos.
Assim, para todo inteiro k>1, temos
[latex]\sum_{i=1}^{k}\frac{\arctan i}{i^2}\leq \sum_{i=1}^{k}\frac{\pi/2}{i^2}\leq\frac{\pi}{2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}[/latex]
Então a série é limitada, e portanto converge
Além disso, dado que x>0, arctg x >0. Portanto temos uma série de termos positivos.
Assim, para todo inteiro k>1, temos
[latex]\sum_{i=1}^{k}\frac{\arctan i}{i^2}\leq \sum_{i=1}^{k}\frac{\pi/2}{i^2}\leq\frac{\pi}{2}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}[/latex]
Então a série é limitada, e portanto converge
SilverBladeII- Matador
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